Номер 985, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 985, страница 244.

Условие.

985 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых $BM^2 - AM^2 = 2AB^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения искомого множества точек M воспользуемся методом координат. Расположим точки A и B на оси абсцисс (Ox) в декартовой системе координат. Пусть точка A совпадает с началом координат, а точка B имеет положительную абсциссу.

Тогда координаты точек будут следующими:

• $A(0, 0)$
• $B(a, 0)$, где $a = AB$ — расстояние между точками A и B. Так как точки различны, $a > 0$.
• $M(x, y)$ — произвольная точка на плоскости, принадлежащая искомому множеству.

Теперь выразим квадраты расстояний, фигурирующие в условии задачи, через координаты точек:

• $AM^2$ (квадрат расстояния от M до A): $AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$.
• $BM^2$ (квадрат расстояния от M до B): $BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$.
• $AB^2$ (квадрат расстояния от A до B): $AB^2 = (a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = a^2$.

Подставим эти выражения в данное по условию равенство $BM^2 - AM^2 = 2AB^2$:

$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) - (x^2 + y^2) = 2a^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - x^2 - y^2 = 2a^2$

$-2ax + a^2 = 2a^2$

Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:

$-2ax = a^2$

Поскольку точки A и B различны, то $a = AB \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $-2a$:

$x = \frac{a^2}{-2a}$

$x = -\frac{a}{2}$

Полученное уравнение $x = -a/2$ описывает множество всех точек, абсцисса которых постоянна и равна $-a/2$. Геометрически это представляет собой прямую, параллельную оси ординат (Oy).

Так как в нашей системе координат прямая AB совпадает с осью Ox, то прямая $x = -a/2$ перпендикулярна прямой AB.

Эта прямая пересекает прямую AB в точке H с координатами $(-a/2, 0)$. Давайте определим положение точки H относительно точек A и B. Точка A имеет координату 0, а точка B — координату $a$. Точка H лежит на прямой AB на расстоянии $|-a/2| = a/2$ от точки A, причем в направлении, противоположном направлению на точку B. Это можно выразить векторным равенством: $\vec{AH} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$.

Таким образом, искомое множество точек M — это прямая, перпендикулярная прямой AB и проходящая через точку H, определяемую указанным выше образом.

Ответ: Искомое множество точек — это прямая, перпендикулярная прямой AB и проходящая через такую точку H на прямой AB, что $\vec{AH} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$. Иначе говоря, точка H лежит на продолжении отрезка BA за точку A на расстоянии, равном половине длины отрезка AB.