Номер 984, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 984, страница 243.

Условие.

984 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых $AM^2 - BM^2 = k$, где $k$ — данное число.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты $(a; 0)$, где $a = AB$. Найдём расстояния от произвольной точки М $(x; y)$ до точек А и В: $AM = \sqrt{x^2 + y^2}$, $BM = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}$.

Если точка М $(x; y)$ принадлежит искомому множеству, то $AM^2 - BM^2 = k$, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 - (x - a)^2 - y^2 = k$, или $2ax - a^2 - k = 0$.

Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная оси Oy, если $a^2 + k \neq 0$, и сама ось Oy, если $a^2 + k = 0$.

Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой $AB$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введём прямоугольную систему координат таким образом, чтобы точка $A$ совпадала с началом координат, а точка $B$ лежала на оси абсцисс $Ox$. Тогда координаты точек будут: $A(0; 0)$ и $B(a; 0)$, где $a = AB$ — расстояние между точками $A$ и $B$. Пусть $M(x; y)$ — произвольная точка, принадлежащая искомому множеству.

Найдём квадраты расстояний от точки $M$ до точек $A$ и $B$, используя формулу квадрата расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадрат расстояния $AM$:
$AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$

Квадрат расстояния $BM$:
$BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2$

Согласно условию задачи, для точки $M$ должно выполняться равенство $AM^2 - BM^2 = k$. Подставим в него полученные выражения:
$(x^2 + y^2) - ((x - a)^2 + y^2) = k$

Упростим это уравнение, раскрыв скобки:
$x^2 + y^2 - (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = k$
$x^2 + y^2 - x^2 + 2ax - a^2 - y^2 = k$

После сокращения подобных слагаемых ($x^2$ и $y^2$ взаимно уничтожаются) получаем:
$2ax - a^2 = k$
или
$2ax - a^2 - k = 0$

Это уравнение и определяет искомое множество точек. Проанализируем его, рассмотрев два возможных случая.

Случай 1: Точки A и B различны.
В этом случае расстояние $a = AB \neq 0$. Уравнение $2ax - a^2 - k = 0$ является линейным уравнением относительно $x$. Выразим $x$:
$2ax = a^2 + k$
$x = \frac{a^2 + k}{2a}$
Это уравнение вида $x = C$, где $C$ — константа. Оно задает на плоскости прямую, параллельную оси $Oy$. Поскольку в нашей системе координат прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, совпадает с осью $Ox$, то полученная прямая перпендикулярна прямой $AB$.

Случай 2: Точки A и B совпадают.
В этом случае $a = AB = 0$. Исходное уравнение $2ax - a^2 - k = 0$ примет вид $2 \cdot 0 \cdot x - 0^2 - k = 0$, что упрощается до $-k=0$ или $k=0$.
- Если данное число $k=0$, то мы получаем верное равенство $0=0$, которое не зависит от координат $x$ и $y$. Это означает, что любая точка плоскости удовлетворяет условию. Искомое множество — вся плоскость.
- Если данное число $k \neq 0$, то мы получаем неверное равенство. Это означает, что ни одна точка плоскости не удовлетворяет условию. Искомое множество — пустое множество.

Ответ: Если точки $A$ и $B$ различны, то искомое множество точек является прямой, перпендикулярной к прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Если точки $A$ и $B$ совпадают, то при $k=0$ искомым множеством является вся плоскость, а при $k \neq 0$ — пустое множество.