Номер 984, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 984, страница 243.

Условие.

984 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых $AM^2 - BM^2 = k$, где $k$ — данное число.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты $(a; 0)$, где $a = AB$. Найдём расстояния от произвольной точки М $(x; y)$ до точек А и В: $AM = \sqrt{x^2 + y^2}$, $BM = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}$.

Если точка М $(x; y)$ принадлежит искомому множеству, то $AM^2 - BM^2 = k$, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 - (x - a)^2 - y^2 = k$, или $2ax - a^2 - k = 0$.

Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная оси Oy, если $a^2 + k \neq 0$, и сама ось Oy, если $a^2 + k = 0$.

Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой $AB$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.