Номер 1, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 1, страница 244.

Условие.

1 Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка леммы о коллинеарных векторах

Если два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, и при этом вектор $\vec{a}$ не является нулевым ($\vec{a} \neq \vec{0}$), то существует единственное число $k$, такое, что выполняется равенство $\vec{b} = k\vec{a}$.

Доказательство

Доказательство леммы состоит из двух частей: доказательства существования такого числа $k$ и доказательства его единственности.

1. Существование

Рассмотрим два возможных случая:

а) Вектор $\vec{b}$ — нулевой ($\vec{b} = \vec{0}$). В этом случае равенство $\vec{b} = k\vec{a}$ будет верным, если положить $k=0$. Действительно, $\vec{0} = 0 \cdot \vec{a}$. Число $k$ существует.

б) Вектор $\vec{b}$ — ненулевой ($\vec{b} \neq \vec{0}$). Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны по условию, они могут быть либо сонаправлены, либо противоположно направлены.

• Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$), то выберем $k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Так как $\vec{a} \neq \vec{0}$, его длина $|\vec{a}| \neq 0$, поэтому такое число $k$ существует и $k > 0$. Вектор $k\vec{a}$ будет иметь то же направление, что и $\vec{a}$ (и, следовательно, $\vec{b}$), а его длина будет равна $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = |\vec{b}|$. Так как векторы $k\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют одинаковое направление и одинаковую длину, они равны: $\vec{b} = k\vec{a}$.
• Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$), то выберем $k = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. В этом случае $k < 0$. Вектор $k\vec{a}$ будет иметь направление, противоположное направлению $\vec{a}$ (и, следовательно, совпадающее с направлением $\vec{b}$), а его длина будет равна $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| = \left|-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\right| \cdot |\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = |\vec{b}|$. Так как векторы $k\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют одинаковое направление и одинаковую длину, они равны: $\vec{b} = k\vec{a}$.

Таким образом, существование числа $k$ доказано.

2. Единственность

Допустим, что существуют два различных числа $k_1$ и $k_2$, для которых выполняются равенства: $\vec{b} = k_1\vec{a}$ и $\vec{b} = k_2\vec{a}$.

Из этого следует, что $k_1\vec{a} = k_2\vec{a}$.

Перенесем все члены в одну сторону: $k_1\vec{a} - k_2\vec{a} = \vec{0}$.

Вынесем общий множитель $\vec{a}$: $(k_1 - k_2)\vec{a} = \vec{0}$.

По условию леммы вектор $\vec{a} \neq \vec{0}$. Произведение ненулевого вектора на число равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю. Следовательно, должно выполняться равенство $k_1 - k_2 = 0$, что означает $k_1 = k_2$.

Это противоречит нашему предположению о том, что числа $k_1$ и $k_2$ различны. Следовательно, такое число $k$ единственно. Лемма полностью доказана.

Ответ: Лемма о коллинеарных векторах утверждает, что если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a} \neq \vec{0}$, то существует единственное число $k$, такое, что $\vec{b} = k\vec{a}$.