Номер 6, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 6, страница 244.

Условие.

6 Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка утверждения (теоремы)

Любой вектор $\vec{a}$ в пространстве может быть представлен, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации трёх взаимно перпендикулярных единичных векторов (ортов) $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, которые сонаправлены с осями координат Ox, Oy, Oz соответственно. Это представление называется разложением вектора по координатным векторам (или по базису) и имеет вид:

$\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$

Числа $a_x, a_y, a_z$ называются координатами вектора $\vec{a}$ в данном базисе.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования такого разложения и доказательства его единственности.

1. Доказательство существования

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz. Отложим произвольный вектор $\vec{a}$ от начала координат O. Пусть конец вектора находится в точке A с координатами $(a_x, a_y, a_z)$. Таким образом, $\vec{a} = \vec{OA}$.

Проведём через точку A плоскости, параллельные координатным плоскостям yOz, xOz и xOy. Эти плоскости пересекут координатные оси Ox, Oy и Oz в точках $A_x(a_x, 0, 0)$, $A_y(0, a_y, 0)$ и $A_z(0, 0, a_z)$ соответственно. В результате будет построен прямоугольный параллелепипед, для которого отрезок OA является диагональю, а отрезки $OA_x$, $OA_y$, $OA_z$ — рёбрами, выходящими из вершины O.

По правилу сложения векторов для параллелепипеда, вектор диагонали $\vec{OA}$ равен сумме векторов, построенных на его рёбрах, выходящих из той же вершины O:

$\vec{OA} = \vec{OA_x} + \vec{OA_y} + \vec{OA_z}$

Вектор $\vec{OA_x}$ лежит на оси Ox, его длина равна $|a_x|$, а его направление совпадает с направлением орта $\vec{i}$ при $a_x > 0$ и противоположно ему при $a_x < 0$. Следовательно, вектор $\vec{OA_x}$ можно представить как произведение числа $a_x$ на единичный вектор $\vec{i}$:

$\vec{OA_x} = a_x \vec{i}$

Аналогично для двух других векторов:

$\vec{OA_y} = a_y \vec{j}$

$\vec{OA_z} = a_z \vec{k}$

Подставив эти выражения в формулу для $\vec{OA}$, получаем искомое разложение вектора $\vec{a}$:

$\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$

Таким образом, существование разложения доказано.

2. Доказательство единственности

Предположим, что существует другое разложение вектора $\vec{a}$ по тому же базису с другими коэффициентами $a'_x, a'_y, a'_z$:

$\vec{a} = a'_x \vec{i} + a'_y \vec{j} + a'_z \vec{k}$

Приравняем правые части двух разложений для вектора $\vec{a}$:

$a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k} = a'_x \vec{i} + a'_y \vec{j} + a'_z \vec{k}$

Перенесём все члены в левую часть и сгруппируем слагаемые:

$(a_x - a'_x) \vec{i} + (a_y - a'_y) \vec{j} + (a_z - a'_z) \vec{k} = \vec{0}$

Координатные векторы $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ не являются компланарными (они взаимно перпендикулярны), то есть они линейно независимы. Линейная комбинация линейно независимых векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все её коэффициенты равны нулю.

Следовательно, должны выполняться равенства:

$a_x - a'_x = 0 \implies a_x = a'_x$

$a_y - a'_y = 0 \implies a_y = a'_y$

$a_z - a'_z = 0 \implies a_z = a'_z$

Это означает, что коэффициенты разложения $a_x, a_y, a_z$ определяются однозначно. Таким образом, разложение вектора по базису единственно. Теорема полностью доказана.

Ответ: Утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам гласит, что любой вектор $\vec{a}$ можно единственным образом представить в виде $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$, где $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ — единичные векторы координатных осей, а $a_x, a_y, a_z$ — координаты вектора $\vec{a}$. Существование такого разложения доказывается геометрически через правило параллелепипеда для сложения векторов. Единственность следует из линейной независимости базисных векторов $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.