Номер 13, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 13, страница 244.

Условие.

13 Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками выводится из теоремы Пифагора.

Пусть на плоскости в прямоугольной системе координат даны две точки: $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2)$. Требуется найти расстояние $d$ между этими точками, которое равно длине отрезка $AB$.

Для этого достроим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором отрезок $AB$ будет гипотенузой. Проведем через точку $A$ прямую, параллельную оси абсцисс (оси $Ox$), а через точку $B$ — прямую, параллельную оси ординат (оси $Oy$). Точка их пересечения $C$ будет иметь координаты $(x_2, y_1)$.

Теперь найдем длины катетов этого треугольника:

• Длина катета $AC$, лежащего на горизонтальной прямой, равна модулю разности абсцисс точек $A$ и $C$: $|AC| = |x_2 - x_1|$.
• Длина катета $BC$, лежащего на вертикальной прямой, равна модулю разности ординат точек $B$ и $C$: $|BC| = |y_2 - y_1|$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

$|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$

Подставим в это равенство найденные длины катетов и обозначим искомое расстояние $|AB|$ через $d$:

$d^2 = (|x_2 - x_1|)^2 + (|y_2 - y_1|)^2$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, знаки модуля можно опустить:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Чтобы найти расстояние $d$, извлечем квадратный корень из правой части выражения. Поскольку расстояние всегда является неотрицательной величиной, мы берем арифметический (положительный) корень:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Это и есть искомая формула.

Примечание: Аналогично выводится формула для расстояния между точками в трехмерном пространстве. Для точек $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ расстояние будет равно:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Ответ: Формула для вычисления расстояния $d$ между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.