Номер 20, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 20, страница 245.

Условие.

20. Докажите, что: две параллельные прямые, не параллельные оси $Oy$, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Данная задача состоит из двух частей: прямого и обратного утверждения. Докажем каждое из них.

две параллельные прямые, не параллельные оси Oy, имеют одинаковые угловые коэффициенты

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, которые не параллельны оси $Oy$. Так как прямые не являются вертикальными (не параллельны оси $Oy$), их уравнения можно представить в виде с угловым коэффициентом:

$l_1: y = k_1x + b_1$

$l_2: y = k_2x + b_2$

Здесь $k_1$ и $k_2$ — это угловые коэффициенты прямых $l_1$ и $l_2$ соответственно.

По определению, угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс ($Ox$). Обозначим эти углы наклона как $\alpha_1$ для прямой $l_1$ и $\alpha_2$ для прямой $l_2$. Тогда:

$k_1 = \tan(\alpha_1)$

$k_2 = \tan(\alpha_2)$

По условию, прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны ($l_1 \parallel l_2$). Если мы рассмотрим ось $Ox$ как секущую для этих двух параллельных прямых, то углы наклона $\alpha_1$ и $\alpha_2$ будут являться соответственными углами. Согласно основному свойству параллельных прямых, соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. Следовательно:

$\alpha_1 = \alpha_2$

Раз углы наклона равны, то равны и их тангенсы (поскольку для невертикальных прямых углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ лежат в диапазоне, где тангенс определен и однозначен). Таким образом:

$\tan(\alpha_1) = \tan(\alpha_2)$

А это означает, что $k_1 = k_2$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если две невертикальные прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны

Это обратное утверждение. Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$, уравнения которых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$. По условию, их угловые коэффициенты равны:

$k_1 = k_2$

Как и в предыдущем доказательстве, угловые коэффициенты связаны с углами наклона $\alpha_1$ и $\alpha_2$ к положительному направлению оси $Ox$:

$k_1 = \tan(\alpha_1)$

$k_2 = \tan(\alpha_2)$

Из равенства $k_1 = k_2$ следует, что $\tan(\alpha_1) = \tan(\alpha_2)$.

Угол наклона невертикальной прямой однозначно определяется в промежутке $[0, \pi)$ (за исключением значения $\pi/2$). В этом промежутке функция тангенса является строго возрастающей, а значит, каждому значению тангенса соответствует только один угол. Следовательно, из равенства тангенсов следует равенство самих углов:

$\alpha_1 = \alpha_2$

Теперь снова рассмотрим прямые $l_1$ и $l_2$ и ось $Ox$ в качестве секущей. Мы установили, что соответственные углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ равны. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны. Таким образом, $l_1 \parallel l_2$.

Заметим, что если $b_1 = b_2$, то прямые полностью совпадают. Совпадающие прямые считаются частным случаем параллельных прямых (расстояние между ними равно нулю).

Ответ: Доказано, что если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то они параллельны.