Номер 24, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 24, страница 245.

Условие.

24 Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.

Решение 4.

Решение 10.

Использование уравнений окружности и прямой является основой аналитической геометрии и позволяет решать множество геометрических задач алгебраическими методами. Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Уравнение прямой в общем виде — $Ax + By + C = 0$, или в виде с угловым коэффициентом — $y = kx + b$. Рассмотрение их взаимного расположения через решение систем уравнений является мощным инструментом.

Ниже приведены примеры, демонстрирующие применение этого подхода.

Пример 1: Нахождение точек пересечения прямой и окружности

Задача: Найти координаты точек пересечения окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 25$, и прямой, заданной уравнением $y = x - 1$.

Решение:
Для нахождения точек пересечения необходимо решить систему, состоящую из уравнений окружности и прямой:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 25 \\y = x - 1\end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x - 1)^2 = 25$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 25$

$2x^2 - 2x + 1 - 25 = 0$

$2x^2 - 2x - 24 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно разложить на множители:

$(x - 4)(x + 3) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $x$: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдём соответствующее значение $y$, используя уравнение прямой $y = x - 1$:

1. При $x_1 = 4$, получаем $y_1 = 4 - 1 = 3$. Координаты первой точки пересечения: $(4, 3)$.

2. При $x_2 = -3$, получаем $y_2 = -3 - 1 = -4$. Координаты второй точки пересечения: $(-3, -4)$.

Таким образом, прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Ответ: Точки пересечения имеют координаты $(4, 3)$ и $(-3, -4)$.

Пример 2: Нахождение уравнения касательной к окружности в данной точке

Задача: Найти уравнение прямой, которая является касательной к окружности $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 20$ в точке $A(3, 2)$, лежащей на этой окружности.

Решение:
1. Из уравнения окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ находим её центр — точка $C(1, -2)$.

2. Воспользуемся свойством касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что прямая, содержащая радиус $CA$, перпендикулярна искомой касательной. Найдём угловой коэффициент $k_{CA}$ прямой $CA$.

$k_{CA} = \frac{y_A - y_C}{x_A - x_C} = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

3. Угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых связаны соотношением $k_1 \cdot k_2 = -1$. Обозначим угловой коэффициент касательной как $k_{кас}$. Тогда:

$k_{кас} \cdot k_{CA} = -1$

$k_{кас} = -\frac{1}{k_{CA}} = -\frac{1}{2}$

4. Теперь мы знаем угловой коэффициент касательной ($k = -\frac{1}{2}$) и точку на ней ($A(3, 2)$). Можем записать уравнение касательной, используя уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом $y - y_1 = k(x - x_1)$:

$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 3)$

5. Приведём это уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$. Умножим обе части на 2:

$2(y - 2) = -(x - 3)$

$2y - 4 = -x + 3$

$x + 2y - 7 = 0$

Это и есть искомое уравнение касательной.

Ответ: Уравнение касательной к окружности в точке $A(3, 2)$ имеет вид $x + 2y - 7 = 0$.