Номер 993, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 993, страница 246.

Условие.

993 Докажите, что углы $A$ и $C$ треугольника $ABC$ равны, если $A (-5; 6)$, $B (3; -9)$ и $C (-12; -17)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы доказать, что углы A и C треугольника ABC равны, необходимо доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, а именно, что стороны, лежащие против этих углов, равны. Сторона, лежащая напротив угла A, — это сторона BC, а сторона, лежащая напротив угла C, — это сторона AB. Таким образом, задача сводится к доказательству равенства $AB = BC$.

Найдем длины сторон AB и BC, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

1. Вычислим длину стороны AB, используя координаты точек A(-5; 6) и B(3; -9):

$AB = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-9 - 6)^2} = \sqrt{(3 + 5)^2 + (-15)^2} = \sqrt{8^2 + 225} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

2. Вычислим длину стороны BC, используя координаты точек B(3; -9) и C(-12; -17):

$BC = \sqrt{(-12 - 3)^2 + (-17 - (-9))^2} = \sqrt{(-15)^2 + (-17 + 9)^2} = \sqrt{225 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Сравнив полученные длины сторон, видим, что $AB = BC = 17$.

Поскольку в треугольнике ABC две стороны равны ($AB = BC$), то он является равнобедренным с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle A = \angle C$.

Ответ: Что и требовалось доказать.