Номер 998, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 998, страница 246.

Условие.

998 Докажите, что четырёхугольник $ABCD$, вершины которого имеют координаты $A (-2; -3)$, $B (1; 4)$, $C (8; 7)$, $D (5; 0)$, является ромбом. Найдите его площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство, что четырёхугольник ABCD является ромбом

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник является ромбом, необходимо показать, что все его четыре стороны равны по длине. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Даны координаты вершин: A(-2; -3), B(1; 4), C(8; 7), D(5; 0).

1. Найдём длину стороны AB:
$AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{(1 + 2)^2 + (4 + 3)^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

2. Найдём длину стороны BC:
$BC = \sqrt{(8 - 1)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.

3. Найдём длину стороны CD:
$CD = \sqrt{(5 - 8)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

4. Найдём длину стороны DA:
$DA = \sqrt{(-2 - 5)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.

Поскольку все стороны четырёхугольника равны ($AB = BC = CD = DA = \sqrt{58}$), то данный четырёхугольник является ромбом.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является ромбом, так как длины всех его сторон равны $\sqrt{58}$.

Нахождение площади ромба

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Диагоналями данного ромба являются отрезки AC и BD.

1. Найдём длину диагонали AC:
$d_1 = AC = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (7 - (-3))^2} = \sqrt{(8 + 2)^2 + (7 + 3)^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.

2. Найдём длину диагонали BD:
$d_2 = BD = \sqrt{(5 - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

3. Вычислим площадь ромба:
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot (40 \cdot 2) = \frac{80}{2} = 40$.

Ответ: 40.