Номер 1000, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 1000, страница 246.

Условие.

1000 Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:

а) $(x-1)^2+(y+2)^2=25;$

б) $x^2+(y+7)^2=1;$

в) $x^2+y^2+8x-4y+40=0;$

г) $x^2+y^2-2x+4y-20=0;$

д) $x^2+y^2-4x-2y+1=0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a;b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Уравнение задает окружность, если $R^2 > 0$.

а)

Уравнение $(x-1)^2+(y+2)^2=25$ уже представлено в каноническом виде.

Сравнивая его с общей формулой $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, можем определить параметры окружности. Перепишем уравнение в виде $(x-1)^2+(y-(-2))^2=5^2$.

Координаты центра $(a;b)$ равны $(1;-2)$.

Квадрат радиуса $R^2=25$, следовательно, радиус $R=\sqrt{25}=5$.

Так как $R > 0$, это уравнение является уравнением окружности.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности. Центр $(1;-2)$, радиус $R=5$.

б)

Уравнение $x^2+(y+7)^2=1$ также представлено в каноническом виде.

Перепишем его как $(x-0)^2+(y-(-7))^2=1^2$, чтобы оно соответствовало форме $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.

Координаты центра $(a;b)$ равны $(0;-7)$.

Квадрат радиуса $R^2=1$, следовательно, радиус $R=\sqrt{1}=1$.

Так как $R > 0$, это уравнение является уравнением окружности.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности. Центр $(0;-7)$, радиус $R=1$.

в)

Рассмотрим уравнение $x^2+y^2+8x-4y+40=0$. Чтобы определить, является ли оно уравнением окружности, приведем его к каноническому виду методом выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:

$(x^2+8x) + (y^2-4y) + 40 = 0$

Дополним выражения в скобках до полных квадратов:

$(x^2+2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + (y^2-2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 40 = 0$

$(x^2+8x+16) - 16 + (y^2-4y+4) - 4 + 40 = 0$

Свернем полные квадраты:

$(x+4)^2 + (y-2)^2 - 16 - 4 + 40 = 0$

$(x+4)^2 + (y-2)^2 = 16 + 4 - 40$

$(x+4)^2 + (y-2)^2 = -20$

В правой части уравнения стоит квадрат радиуса $R^2$. В данном случае $R^2 = -20$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений в действительных числах и, следовательно, не является уравнением окружности.

Ответ: Уравнение не является уравнением окружности.

г)

Рассмотрим уравнение $x^2+y^2-2x+4y-20=0$. Приведем его к каноническому виду.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2-2x) + (y^2+4y) - 20 = 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2-2x+1) - 1 + (y^2+4y+4) - 4 - 20 = 0$

Свернем полные квадраты и перенесем свободные члены в правую часть:

$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 1 + 4 + 20$

$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$

Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Сравнивая его с $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, находим:

Координаты центра $(1;-2)$, радиус $R=\sqrt{25}=5$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности. Центр $(1;-2)$, радиус $R=5$.

д)

Рассмотрим уравнение $x^2+y^2-4x-2y+1=0$. Приведем его к каноническому виду.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2-4x) + (y^2-2y) + 1 = 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2-4x+4) - 4 + (y^2-2y+1) - 1 + 1 = 0$

Свернем полные квадраты и перенесем свободные члены в правую часть:

$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 + 1 - 1$

$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$

Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Сравнивая его с $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, находим:

Координаты центра $(2;1)$, радиус $R=\sqrt{4}=2$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности. Центр $(2;1)$, радиус $R=2$.