Номер 994, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 994, страница 246.

Условие.

994 Докажите, что точка D равноудалена от точек A, B и C, если:

a) $D(1; 1)$, $A(5; 4)$, $B(4; -3)$, $C(-2; 5)$;

б) $D(1; 0)$, $A(7; -8)$, $B(-5; 8)$, $C(9; 6)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Чтобы доказать, что точка D равноудалена от точек A, B и C, необходимо вычислить расстояния DA, DB и DC и показать, что они равны. Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находится по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Для удобства будем вычислять и сравнивать квадраты расстояний.

а)

Даны точки: D(1; 1), A(5; 4), B(4; -3), C(-2; 5).

Найдем квадраты расстояний от точки D до точек A, B и C:

$DA^2 = (5 - 1)^2 + (4 - 1)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$;

$DB^2 = (4 - 1)^2 + (-3 - 1)^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$;

$DC^2 = (-2 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Поскольку квадраты расстояний равны ($DA^2 = DB^2 = DC^2 = 25$), то и сами расстояния равны: $DA = DB = DC = \sqrt{25} = 5$. Следовательно, точка D равноудалена от точек A, B и C.

Ответ: Доказано. Расстояние от точки D до каждой из точек A, B и C равно 5.

б)

Даны точки: D(1; 0), A(7; -8), B(-5; 8), C(9; 6).

Найдем квадраты расстояний от точки D до точек A, B и C:

$DA^2 = (7 - 1)^2 + (-8 - 0)^2 = 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$;

$DB^2 = (-5 - 1)^2 + (8 - 0)^2 = (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$;

$DC^2 = (9 - 1)^2 + (6 - 0)^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.

Поскольку квадраты расстояний равны ($DA^2 = DB^2 = DC^2 = 100$), то и сами расстояния равны: $DA = DB = DC = \sqrt{100} = 10$. Следовательно, точка D равноудалена от точек A, B и C.

Ответ: Доказано. Расстояние от точки D до каждой из точек A, B и C равно 10.