Номер 989, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 989, страница 245.

Условие.

989 Найдите координаты вектора p и его длину, если:

a) $\vec{p} = 7\vec{a} - 3\vec{b}$, $\vec{a}\{1; -1\}$, $\vec{b}\{5; -2\};$

б) $\vec{p} = 4\vec{a} - 2\vec{b}$, $\vec{a}\{6; 3\}$, $\vec{b}\{5; 4\};$

в) $\vec{p} = 5\vec{a} - 4\vec{b}$, $\vec{a}\{\frac{3}{5}; \frac{1}{5}\}$, $\vec{b}\{6; -1\};$

г) $\vec{p} = 3(-2\vec{a} - 4\vec{b})$, $\vec{a}\{1; 5\}$, $\vec{b}\{-1; -1\}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Дано: $\vec{p} = 7\vec{a} - 3\vec{b}$, $\vec{a}\{1; -1\}$, $\vec{b}\{5; -2\}$.

Для нахождения координат вектора $\vec{p}\{x_p; y_p\}$ выполним соответствующие операции над координатами векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$x_p = 7 \cdot x_a - 3 \cdot x_b = 7 \cdot 1 - 3 \cdot 5 = 7 - 15 = -8$.

$y_p = 7 \cdot y_a - 3 \cdot y_b = 7 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2) = -7 + 6 = -1$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{p}$ равны $\{-8; -1\}$.

Теперь найдем длину (модуль) вектора $\vec{p}$ по формуле $|\vec{p}| = \sqrt{x_p^2 + y_p^2}$:

$|\vec{p}| = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$.

Ответ: $\vec{p}\{-8; -1\}$, $|\vec{p}| = \sqrt{65}$.

б) Дано: $\vec{p} = 4\vec{a} - 2\vec{b}$, $\vec{a}\{6; 3\}$, $\vec{b}\{5; 4\}$.

Найдем координаты вектора $\vec{p}\{x_p; y_p\}$:

$x_p = 4 \cdot x_a - 2 \cdot x_b = 4 \cdot 6 - 2 \cdot 5 = 24 - 10 = 14$.

$y_p = 4 \cdot y_a - 2 \cdot y_b = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = 12 - 8 = 4$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{p}$ равны $\{14; 4\}$.

Теперь найдем длину вектора $\vec{p}$:

$|\vec{p}| = \sqrt{14^2 + 4^2} = \sqrt{196 + 16} = \sqrt{212} = \sqrt{4 \cdot 53} = 2\sqrt{53}$.

Ответ: $\vec{p}\{14; 4\}$, $|\vec{p}| = 2\sqrt{53}$.

в) Дано: $\vec{p} = 5\vec{a} - 4\vec{b}$, $\vec{a}\{\frac{3}{5}; \frac{1}{5}\}$, $\vec{b}\{6; -1\}$.

Найдем координаты вектора $\vec{p}\{x_p; y_p\}$:

$x_p = 5 \cdot x_a - 4 \cdot x_b = 5 \cdot \frac{3}{5} - 4 \cdot 6 = 3 - 24 = -21$.

$y_p = 5 \cdot y_a - 4 \cdot y_b = 5 \cdot \frac{1}{5} - 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{p}$ равны $\{-21; 5\}$.

Теперь найдем длину вектора $\vec{p}$:

$|\vec{p}| = \sqrt{(-21)^2 + 5^2} = \sqrt{441 + 25} = \sqrt{466}$.

Ответ: $\vec{p}\{-21; 5\}$, $|\vec{p}| = \sqrt{466}$.

г) Дано: $\vec{p} = 3(-2\vec{a} - 4\vec{b})$, $\vec{a}\{1; 5\}$, $\vec{b}\{-1; -1\}$.

Сначала упростим выражение для $\vec{p}$: $\vec{p} = -6\vec{a} - 12\vec{b}$.

Найдем координаты вектора $\vec{p}\{x_p; y_p\}$:

$x_p = -6 \cdot x_a - 12 \cdot x_b = -6 \cdot 1 - 12 \cdot (-1) = -6 + 12 = 6$.

$y_p = -6 \cdot y_a - 12 \cdot y_b = -6 \cdot 5 - 12 \cdot (-1) = -30 + 12 = -18$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{p}$ равны $\{6; -18\}$.

Теперь найдем длину вектора $\vec{p}$:

$|\vec{p}| = \sqrt{6^2 + (-18)^2} = \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} = \sqrt{36 \cdot 10} = 6\sqrt{10}$.

Ответ: $\vec{p}\{6; -18\}$, $|\vec{p}| = 6\sqrt{10}$.