Номер 988, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 988, страница 245.

Условие.

988 Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Найдите такое число $x$ (если это возможно), чтобы векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ были коллинеарны:

a) $\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b}, \vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}$;

б) $\vec{p} = x\vec{a} - \vec{b}, \vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}$;

в) $\vec{p} = \vec{a} + x\vec{b}, \vec{q} = \vec{a} - 2\vec{b}$;

г) $\vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b}, \vec{q} = x\vec{a} + \vec{b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, их можно принять за базисные векторы. Два вектора $\vec{p}$ и $\vec{q}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты в некотором базисе пропорциональны.

а) $\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}$.
Координаты векторов в базисе $(\vec{a}, \vec{b})$ равны $\vec{p}(2; -1)$ и $\vec{q}(1; x)$.
Условие коллинеарности (пропорциональности координат):
$\frac{2}{1} = \frac{-1}{x}$
Решая эту пропорцию, получаем: $2x = -1$, откуда $x = -0.5$.
Ответ: $x = -0.5$.

б) $\vec{p} = x\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}$.
Координаты векторов в базисе $(\vec{a}, \vec{b})$: $\vec{p}(x; -1)$ и $\vec{q}(1; x)$.
Условие коллинеарности:
$\frac{x}{1} = \frac{-1}{x}$
Из пропорции получаем уравнение: $x^2 = -1$.
Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел. Следовательно, найти такое число $x$ невозможно.
Ответ: такого числа $x$ не существует.

в) $\vec{p} = \vec{a} + x\vec{b}$, $\vec{q} = \vec{a} - 2\vec{b}$.
Координаты векторов в базисе $(\vec{a}, \vec{b})$: $\vec{p}(1; x)$ и $\vec{q}(1; -2)$.
Условие коллинеарности:
$\frac{1}{1} = \frac{x}{-2}$
Решая пропорцию, получаем: $1 = \frac{x}{-2}$, откуда $x = -2$.
Ответ: $x = -2$.

г) $\vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{q} = x\vec{a} + \vec{b}$.
Координаты векторов в базисе $(\vec{a}, \vec{b})$: $\vec{p}(2; 1)$ и $\vec{q}(x; 1)$.
Условие коллинеарности:
$\frac{2}{x} = \frac{1}{1}$
Решая пропорцию, получаем: $\frac{2}{x} = 1$, откуда $x = 2$.
Ответ: $x = 2$.