Номер 995, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 995, страница 246.

Условие.

995. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $M_1(-2; 4)$ и $M_2(6; 8)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть искомая точка $M$ лежит на оси абсцисс, следовательно, ее ордината равна нулю, и ее координаты можно записать как $M(x; 0)$.
По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $M_1(-2; 4)$ и $M_2(6; 8)$. Это означает, что расстояние от точки $M$ до точки $M_1$ равно расстоянию от точки $M$ до точки $M_2$, то есть $MM_1 = MM_2$.
Формула для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_a; y_a)$ и $B(x_b; y_b)$ имеет вид: $d = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}$.
Так как расстояния равны, то равны и их квадраты: $MM_1^2 = MM_2^2$. Это позволяет избежать работы с квадратными корнями.
Вычислим квадрат расстояния $MM_1^2$ между точками $M(x; 0)$ и $M_1(-2; 4)$:
$MM_1^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 4)^2 = (x + 2)^2 + (-4)^2 = (x + 2)^2 + 16$.
Вычислим квадрат расстояния $MM_2^2$ между точками $M(x; 0)$ и $M_2(6; 8)$:
$MM_2^2 = (x - 6)^2 + (0 - 8)^2 = (x - 6)^2 + (-8)^2 = (x - 6)^2 + 64$.
Теперь приравняем полученные выражения:
$(x + 2)^2 + 16 = (x - 6)^2 + 64$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$x^2 + 4x + 4 + 16 = x^2 - 12x + 36 + 64$.
Упростим обе части уравнения:
$x^2 + 4x + 20 = x^2 - 12x + 100$.
Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:
$4x + 20 = -12x + 100$.
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые — в правую:
$4x + 12x = 100 - 20$.
$16x = 80$.
Найдем значение $x$:
$x = \frac{80}{16}$.
$x = 5$.
Следовательно, искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $(5; 0)$.
Ответ: $(5; 0)$.