Номер 14, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 14, страница 244.

Условие.

14 Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Метод координат позволяет решать геометрические задачи с помощью алгебраических вычислений. Суть метода заключается во введении системы координат, в которой геометрические фигуры и их свойства описываются с помощью чисел (координат) и уравнений. Рассмотрим классический пример.

Задача: Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Решение:

1. Введение системы координат.
Расположим прямоугольный треугольник $ABC$ в декартовой системе координат так, чтобы его катеты лежали на осях координат, а вершина прямого угла $C$ совпадала с началом координат. Пусть координаты вершин будут:

• Вершина прямого угла $C$ имеет координаты $(0, 0)$.
• Вершина $A$ лежит на оси $Oy$, ее координаты $(0, a)$, где $a > 0$.
• Вершина $B$ лежит на оси $Ox$, ее координаты $(b, 0)$, где $b > 0$.

Таким образом, длина катета $AC$ равна $a$, а длина катета $BC$ равна $b$. Гипотенуза треугольника — это отрезок $AB$.

2. Нахождение координат середины гипотенузы.
Проведем медиану $CM$ к гипотенузе $AB$. Точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Найдем ее координаты по формуле середины отрезка: $M = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$ Подставим координаты точек $A(0, a)$ и $B(b, 0)$: $M = (\frac{0+b}{2}, \frac{a+0}{2}) = (\frac{b}{2}, \frac{a}{2})$

3. Вычисление длины медианы.
Теперь найдем длину медианы $CM$, используя формулу расстояния между двумя точками $C(0,0)$ и $M(\frac{b}{2}, \frac{a}{2})$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ $|CM| = \sqrt{(\frac{b}{2}-0)^2 + (\frac{a}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

4. Вычисление длины гипотенузы.
Найдем длину гипотенузы $AB$, используя ту же формулу расстояния для точек $A(0, a)$ и $B(b, 0)$: $|AB| = \sqrt{(b-0)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{b^2 + (-a)^2} = \sqrt{b^2+a^2}$

5. Сравнение длин.
Мы получили, что длина медианы $|CM| = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ и длина гипотенузы $|AB| = \sqrt{a^2+b^2}$. Сравнивая эти два выражения, видим, что $|CM| = \frac{1}{2} |AB|$.

Таким образом, мы доказали утверждение задачи, используя метод координат. Что и требовалось доказать.

Ответ: Приведен пример доказательства теоремы о том, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, с использованием метода координат. Координаты вершин треугольника были выбраны как $C(0,0)$, $A(0,a)$, $B(b,0)$. Были вычислены длина гипотенузы $AB$ как $\sqrt{a^2+b^2}$ и длина медианы $CM$ как $\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$, что доказывает утверждение.