Номер 8, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 8, страница 244.

Условие.

8 Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Координаты суммы векторов

Формулировка правила: Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Доказательство:
Пусть в прямоугольной системе координат даны два вектора: $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$. Их разложение по единичным координатным векторам (ортам) $\vec{i}$ и $\vec{j}$ имеет вид:
$\vec{a} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j}$
$\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}$
Суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. Выразим его через координаты:
$\vec{c} = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j}) + (x_2\vec{i} + y_2\vec{j})$
На основании свойств операций над векторами (сочетательного и переместительного законов сложения, а также распределительного закона) сгруппируем слагаемые:
$\vec{c} = (x_1\vec{i} + x_2\vec{i}) + (y_1\vec{j} + y_2\vec{j})$
$\vec{c} = (x_1 + x_2)\vec{i} + (y_1 + y_2)\vec{j}$
Из полученного разложения вектора $\vec{c}$ по ортам видно, что его координаты равны суммам соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Таким образом, $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}$. Правило доказано. Это правило справедливо и для векторов в трехмерном пространстве.

Ответ: Координаты суммы векторов $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ вычисляются по формуле $\vec{a} + \vec{b} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}$.

Координаты разности векторов

Формулировка правила: Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат уменьшаемого и вычитаемого векторов.

Доказательство:
Пусть даны векторы $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$. Их разложение по ортам:
$\vec{a} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j}$
$\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}$
Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$. Выразим его через координаты:
$\vec{d} = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j}) - (x_2\vec{i} + y_2\vec{j})$
$\vec{d} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j} - x_2\vec{i} - y_2\vec{j}$
Сгруппируем слагаемые:
$\vec{d} = (x_1\vec{i} - x_2\vec{i}) + (y_1\vec{j} - y_2\vec{j})$
$\vec{d} = (x_1 - x_2)\vec{i} + (y_1 - y_2)\vec{j}$
Из полученного разложения вектора $\vec{d}$ по ортам видно, что его координаты равны разностям соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Таким образом, $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = \{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}$. Правило доказано.

Ответ: Координаты разности векторов $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ вычисляются по формуле $\vec{a} - \vec{b} = \{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}$.

Координаты произведения вектора на число

Формулировка правила: Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Доказательство:
Пусть дан вектор $\vec{a}\{x; y\}$ и произвольное число (скаляр) $k$. Разложение вектора по ортам имеет вид:
$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$
Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ является вектор $\vec{p} = k\vec{a}$. Выразим его через координаты:
$\vec{p} = k(x\vec{i} + y\vec{j})$
Используя распределительный закон умножения скаляра на вектор, получим:
$\vec{p} = k(x\vec{i}) + k(y\vec{j})$
Используя сочетательный закон, получим:
$\vec{p} = (kx)\vec{i} + (ky)\vec{j}$
Из полученного разложения вектора $\vec{p}$ по ортам видно, что его координаты равны произведениям соответствующих координат вектора $\vec{a}$ на число $k$.
Таким образом, $\vec{p} = k\vec{a} = \{kx; ky\}$. Правило доказано.

Ответ: Координаты произведения вектора $\vec{a}\{x; y\}$ на число $k$ вычисляются по формуле $k\vec{a} = \{kx; ky\}$.