Номер 1010, страница 247 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 1010, страница 247.

Условие.

1010 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых:

а) $2AM^2 - BM^2 = 2AB^2$

б) $2AM^2 + 2BM^2 = 6AB^2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) $2AM^2 - BM^2 = 2AB^2$

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точки А и В лежат на оси Ox. Поместим точку А в начало координат, тогда ее координаты будут A(0, 0). Пусть длина отрезка AB равна $c$, тогда точка B будет иметь координаты B($c$, 0). Координаты искомой точки M обозначим как M($x$, $y$).

Найдем квадраты расстояний между точками: $AM^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$
$BM^2 = (x-c)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2$
$AB^2 = (c-0)^2 + (0-0)^2 = c^2$

Подставим эти выражения в исходное равенство $2AM^2 - BM^2 = 2AB^2$:
$2(x^2 + y^2) - (x^2 - 2cx + c^2 + y^2) = 2c^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x^2 + 2y^2 - x^2 + 2cx - c^2 - y^2 = 2c^2$
$x^2 + y^2 + 2cx - c^2 = 2c^2$
$x^2 + 2cx + y^2 = 3c^2$

Чтобы определить геометрическое место точек, приведем полученное уравнение к каноническому виду уравнения окружности, выделив полный квадрат для переменной $x$:
$(x^2 + 2cx + c^2) - c^2 + y^2 = 3c^2$
$(x + c)^2 + y^2 = 4c^2$
$(x - (-c))^2 + (y - 0)^2 = (2c)^2$

Это уравнение окружности с центром в точке C с координатами ($-c$, 0) и радиусом $R = 2c$. Определим положение центра C относительно точек A(0, 0) и B($c$, 0). Точка C(–$c$, 0) лежит на прямой AB. Точка A(0, 0) является серединой отрезка CB, так как ее координаты равны полусумме координат точек C и B: $(\frac{-c+c}{2}; \frac{0+0}{2}) = (0; 0)$. Радиус окружности $R = 2c = 2AB$.

Таким образом, искомое множество точек M — это окружность с центром в точке C, такой, что точка A является серединой отрезка CB, и радиусом, равным $2AB$.

Ответ: Окружность с центром в точке C, для которой точка A является серединой отрезка CB, и радиусом $R = 2AB$.

б) $2AM^2 + 2BM^2 = 6AB^2$

Упростим данное равенство, разделив обе части на 2:
$AM^2 + BM^2 = 3AB^2$

Рассмотрим треугольник AMB. Пусть O — середина отрезка AB. Тогда MO — медиана этого треугольника, проведенная к стороне AB. Воспользуемся формулой для длины медианы треугольника: квадрат медианы, проведенной к стороне $c$, равен $m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$. В нашем случае, для медианы MO треугольника AMB, проведенной к стороне AB, формула выглядит так:
$MO^2 = \frac{2AM^2 + 2BM^2 - AB^2}{4}$

Из условия задачи мы знаем, что $2AM^2 + 2BM^2 = 6AB^2$. Подставим это выражение в формулу для квадрата медианы:
$MO^2 = \frac{6AB^2 - AB^2}{4} = \frac{5AB^2}{4}$

Отсюда найдем длину отрезка MO:
$MO = \sqrt{\frac{5AB^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}AB$

Мы получили, что расстояние от точки M до фиксированной точки O (середины отрезка AB) является постоянной величиной, равной $\frac{\sqrt{5}}{2}AB$. По определению, геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки, есть окружность.

Следовательно, искомое множество точек M — это окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом $R = \frac{\sqrt{5}}{2}AB$.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом $R = \frac{\sqrt{5}}{2}AB$.