Номер 1017, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 1. Синус, косинус и тангенс угла - номер 1017, страница 251.

Условие.

1017 Постройте $\angle A$, если:

a) $ \sin A = \frac{2}{3} $;

б) $ \cos A = \frac{3}{4} $;

в) $ \cos A = -\frac{2}{5} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Для построения угла $A$, синус которого равен $2/3$, воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике: $sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Построим прямоугольный треугольник, у которого противолежащий к углу $A$ катет будет равен 2 условным единицам, а гипотенуза — 3. Для этого построим прямой угол с вершиной $C$. На одной из его сторон отложим катет $CB$, равный 2 единицам. Затем из точки $B$ как из центра проведем дугу окружности радиусом 3 единицы. Точка пересечения этой дуги со второй стороной прямого угла будет вершиной $A$ искомого угла. Соединив точки $A$ и $B$, получим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$. Угол $BAC$ и является искомым углом $A$.

Ответ: Построенный угол $A$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ удовлетворяет условию $sin A = \frac{2}{3}$.

б) Для построения угла $A$, косинус которого равен $3/4$, воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике: $cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Построим прямоугольный треугольник, у которого прилежащий к углу $A$ катет будет равен 3 условным единицам, а гипотенуза — 4. Сначала проведем луч и на нем от начальной точки $A$ отложим отрезок $AC$, равный 3 единицам. В точке $C$ восстановим перпендикуляр к отрезку $AC$. Затем из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом 4 единицы. Точка пересечения этой дуги с перпендикуляром будет третьей вершиной треугольника, точкой $B$. Соединив точки $A$ и $B$, получим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4}$. Угол $BAC$ и является искомым углом $A$.

Ответ: Построенный угол $A$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ удовлетворяет условию $cos A = \frac{3}{4}$.

в) Так как косинус угла $A$ отрицателен ($cos A = -2/5$), этот угол является тупым ($90^\circ < A < 180^\circ$). Для его построения воспользуемся свойством косинусов смежных углов: $cos(180^\circ - \alpha) = -cos \alpha$. Сначала построим острый угол $\alpha$, косинус которого равен $2/5$. Для этого, как и в пункте б), построим прямоугольный треугольник. Проведем луч с началом в точке $O$ и отложим на нем отрезок $OC$, равный 2 условным единицам. В точке $C$ восстановим перпендикуляр. Из точки $O$ проведем дугу окружности радиусом 5 единиц до пересечения с перпендикуляром в точке $B$. Полученный угол $BOC$ и будет углом $\alpha$, так как в прямоугольном треугольнике $BOC$ имеем $cos \alpha = \frac{OC}{OB} = \frac{2}{5}$. Теперь построим искомый угол $A$. Проведем прямую и отметим на ней точку $A_1$. Один из лучей, исходящих из точки $A_1$ на этой прямой, будет стороной угла. Отложим от этого луча в любую полуплоскость угол, равный построенному углу $\alpha$. Угол, смежный с ним, и будет искомым углом $A$. Для этого угла $A$ будет выполняться равенство $A = 180^\circ - \alpha$, следовательно, $cos A = cos(180^\circ - \alpha) = -cos \alpha = -2/5$.

Ответ: Построенный тупой угол $A$, смежный с острым углом $\alpha$ (где $cos \alpha = 2/5$), удовлетворяет условию $cos A = -2/5$.