Номер 1027, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1027, страница 257.

Условие.

1027 Найдите стороны треугольника $ABC$, если $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, а высота $AD$ равна $3$ м.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Дано: треугольник ABC, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, высота $AD = 3$ м.

1. Сначала найдем третий угол треугольника ABC. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

2. Так как $\angle B = 105^\circ > 90^\circ$, треугольник ABC является тупоугольным. Высота AD, проведенная из вершины A к стороне BC, падает на продолжение стороны BC за вершину B. Это означает, что точка D лежит на прямой BC, но вне отрезка BC. Высота AD образует два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$, причем $\angle ADC = 90^\circ$ и $\angle ADB = 90^\circ$.

Нахождение стороны AC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. В нем известен катет $AD = 3$ м и противолежащий ему угол $\angle C = 30^\circ$. Сторона AC является гипотенузой этого треугольника. Используя определение синуса, находим AC:

$\sin(\angle C) = \frac{AD}{AC}$

$AC = \frac{AD}{\sin(\angle C)} = \frac{3}{\sin(30^\circ)} = \frac{3}{1/2} = 6$ м.

Ответ: $AC = 6$ м.

Нахождение стороны AB

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$. Угол $\angle ABD$ является смежным с углом $\angle ABC$ треугольника, поэтому:

$\angle ABD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADB$ известен катет $AD = 3$ м и противолежащий ему угол $\angle ABD = 75^\circ$. Сторона AB является гипотенузой. Находим AB:

$AB = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{3}{\sin(75^\circ)}$

Значение $\sin(75^\circ)$ можно найти по формуле синуса суммы углов:

$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Подставляем это значение в формулу для AB:

$AB = \frac{3}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{12}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$:

$AB = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ м.

Ответ: $AB = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ м.

Нахождение стороны BC

Сторону BC можно найти как разность длин отрезков DC и DB ($BC = DC - DB$). Найдем длины этих отрезков из прямоугольных треугольников $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$.

Из $\triangle ADC$ найдем катет DC:

$DC = \frac{AD}{\tan(\angle C)} = \frac{3}{\tan(30^\circ)} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ м.

Из $\triangle ADB$ найдем катет DB:

$DB = \frac{AD}{\tan(\angle ABD)} = \frac{3}{\tan(75^\circ)}$

Значение $\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ)+\tan(30^\circ)}{1-\tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1+1/\sqrt{3}}{1-1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = 2+\sqrt{3}$.

$DB = \frac{3}{2+\sqrt{3}} = \frac{3(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{3(2-\sqrt{3})}{4-3} = 6-3\sqrt{3}$ м.

Теперь вычислим длину стороны BC:

$BC = DC - DB = 3\sqrt{3} - (6 - 3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 6 + 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 6 = 6(\sqrt{3} - 1)$ м.

Ответ: $BC = 6(\sqrt{3} - 1)$ м.