Номер 1033, страница 258 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1033, страница 258.

Условие.

1033 Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажем, что $\frac{BC}{\sin A} = 2R$, или $BC = 2R \sin A$.

Проведём диаметр $BA_1$ (рис. 297) и рассмотрим треугольник $A_1BC$ (случай, когда точки $A_1$ и $C$ совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол $C$ этого треугольника прямой, поэтому $BC = BA_1 \cdot \sin A_1$. Но $\sin A_1 = \sin A$. Действительно, если точка $A_1$ лежит на дуге $BAC$ (рис. 297, а), то $\angle A_1 = \angle A$, а если на дуге $BDC$ (рис. 297, б), то $\angle A_1 = 180^\circ - \angle A$.

И в том, и в другом случае $\sin A_1 = \sin A$.

Следовательно, $BC = BA_1 \cdot \sin A$, или $BC = 2R \sin A$.

Рис. 297

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.