Номер 1033, страница 258 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1033, страница 258.

Условие.

1033 Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажем, что $\frac{BC}{\sin A} = 2R$, или $BC = 2R \sin A$.

Проведём диаметр $BA_1$ (рис. 297) и рассмотрим треугольник $A_1BC$ (случай, когда точки $A_1$ и $C$ совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол $C$ этого треугольника прямой, поэтому $BC = BA_1 \cdot \sin A_1$. Но $\sin A_1 = \sin A$. Действительно, если точка $A_1$ лежит на дуге $BAC$ (рис. 297, а), то $\angle A_1 = \angle A$, а если на дуге $BDC$ (рис. 297, б), то $\angle A_1 = 180^\circ - \angle A$.

И в том, и в другом случае $\sin A_1 = \sin A$.

Следовательно, $BC = BA_1 \cdot \sin A$, или $BC = 2R \sin A$.

Рис. 297

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Это утверждение является частью расширенной теоремы синусов. Докажем его.

Пусть дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Обозначим стороны, противолежащие углам $A, B, C$, как $a, b, c$ соответственно ($a=BC, b=AC, c=AB$). Требуется доказать, что $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

Проведем из вершины $B$ диаметр $BA_1$. Точка $A_1$ будет лежать на окружности. Рассмотрим треугольник $A_1BC$.

Поскольку угол $\angle BCA_1$ вписан в окружность и опирается на диаметр $BA_1$, он является прямым: $\angle BCA_1 = 90°$. Следовательно, треугольник $A_1BC$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $A_1BC$ по определению синуса острого угла имеем:

$\sin(\angle BA_1C) = \frac{BC}{BA_1}$

Так как $BC = a$ и $BA_1$ — это диаметр, равный $2R$, получаем:

$\sin(\angle A_1) = \frac{a}{2R}$, откуда $a = 2R \sin(\angle A_1)$.

Теперь рассмотрим, как связаны углы $\angle A$ и $\angle A_1$ ($\angle BA_1C$). Возможны два случая:

1. Точки A и A₁ лежат на одной дуге BC (рис. 297, а). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (в данном случае дугу $BC$), равны. Следовательно, $\angle A = \angle A_1$.

2. Точки A и A₁ лежат на разных дугах BC (рис. 297, б). В этом случае четырехугольник $ABA_1C$ вписан в окружность. По свойству вписанного четырехугольника, сумма его противолежащих углов равна $180°$. Таким образом, $\angle A + \angle A_1 = 180°$, откуда $\angle A_1 = 180° - \angle A$.

Вспомним тригонометрическое тождество $\sin(180° - \alpha) = \sin(\alpha)$. Это означает, что во втором случае $\sin(\angle A_1) = \sin(180° - \angle A) = \sin(\angle A)$.

Таким образом, в обоих случаях мы получаем, что $\sin(\angle A_1) = \sin(\angle A)$.

Подставим это в нашу формулу $a = 2R \sin(\angle A_1)$:

$a = 2R \sin A$

Разделив обе части равенства на $\sin A$ (так как угол треугольника не равен $0°$ или $180°$, его синус не равен нулю), получим:

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

Это равенство доказывает, что отношение стороны треугольника ($a=BC$) к синусу противолежащего угла ($\angle A$) равно диаметру ($2R$) описанной окружности. Аналогичные рассуждения можно провести и для двух других сторон треугольника.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла постоянно для данного треугольника и равно диаметру описанной около него окружности.