Номер 1039, страница 264 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1039, страница 264.

Условие.

1039 □ Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол между векторами:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$;

в) $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$;

г) $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$;

д) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$;

е) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$;

ж) $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$;

з) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся свойствами квадрата $ABCD$:

• Все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°$.
• Диагонали $AC$ и $BD$ равны, перпендикулярны, точкой пересечения $O$ делятся пополам и являются биссектрисами углов квадрата.
• Из этого следует, что $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90°$, а углы между диагоналями и сторонами равны $45°$ (например, $\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45°$).

а) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Оба вектора исходят из одной точки $A$. Следовательно, искомый угол — это угол $\angle BAC$. Диагональ $AC$ квадрата является биссектрисой угла $\angle DAB$. Так как $\angle DAB = 90°$, то угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен $\angle BAC = \frac{90°}{2} = 45°$.

Ответ: $45°$.

б) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$.

Чтобы найти угол между векторами, нужно отложить их от одной точки. Перенесем вектор $\vec{AB}$ так, чтобы его начало совпало с началом вектора $\vec{DA}$, то есть с точкой $D$. Получим вектор $\vec{DC}$, так как в квадрате $AB \parallel DC$ и $AB = DC$. Таким образом, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$ равен углу между $\vec{DC}$ и $\vec{DA}$. Оба этих вектора выходят из точки $D$, значит, угол между ними равен $\angle ADC = 90°$.

Ответ: $90°$.

в) Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.

Оба вектора исходят из точки $O$. Угол между ними — это $\angle AOB$. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, $\angle AOB = 90°$.

Ответ: $90°$.

г) Угол между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$.

Векторы отложены от разных точек. Перенесем вектор $\vec{AO}$ так, чтобы его начало было в точке $O$. Поскольку точка $O$ — середина диагонали $AC$, то вектор, равный $\vec{AO}$ и выходящий из точки $O$, — это вектор $\vec{OC}$. Следовательно, угол между $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$ равен углу между $\vec{OC}$ и $\vec{OB}$, то есть $\angle COB$. Так как диагонали квадрата перпендикулярны, $\angle COB = 90°$.

Ответ: $90°$.

д) Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$.

Оба вектора выходят из точки $O$ и лежат на одной прямой (диагонали $AC$). При этом они направлены в противоположные стороны. Угол между противоположно направленными векторами равен $180°$.

Ответ: $180°$.

е) Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

Эти векторы лежат на диагоналях квадрата. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому угол между прямыми $AC$ и $BD$ равен $90°$. Угол между векторами, лежащими на этих прямых, также равен $90°$.

Ответ: $90°$.

ж) Угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$.

Перенесем векторы так, чтобы они исходили из одной точки. Проще всего рассмотреть угол между векторами $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$. Этот угол равен $\angle ADB$. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ADC$, поэтому $\angle ADB = \frac{90°}{2} = 45°$. Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$. Угол между $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$ будет смежным с углом между $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$. Следовательно, искомый угол равен $180° - 45° = 135°$.

Ответ: $135°$.

з) Угол между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$.

Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, значит $O$ — середина $AC$. Вектор $\vec{AO}$ имеет начало в точке $A$ и конец в точке $O$. Вектор $\vec{OC}$ имеет начало в точке $O$ и конец в точке $C$. Они сонаправлены (оба направлены от $A$ к $C$) и их длины равны ($AO=OC$). Следовательно, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ равны. Угол между двумя равными (сонаправленными) векторами равен $0°$.

Ответ: $0°$.