Номер 1037, страница 259 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1037, страница 259.

Условие.

1037 □ Для определения ширины реки отметили два пункта A и B на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы CAB и ABC, где C — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что $\angle CAB = 12^\circ 30'$, $\angle ABC = 72^\circ 42'$. Найдите ширину реки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Найдите ширину реки.

Для решения задачи смоделируем ситуацию геометрически. Пусть точки A и B находятся на одном берегу реки, а точка C (дерево) — на другом. Эти три точки образуют треугольник ABC. Расстояние между точками A и B является стороной треугольника $AB = 70$ м. Ширина реки определяется как кратчайшее расстояние от точки C до прямой AB, что соответствует высоте CH, опущенной из вершины C на сторону AB.

Нам даны сторона треугольника и два прилежащих к ней угла:

• $AB = 70$ м
• $\angle CAB = 12^\circ30'$
• $\angle ABC = 72^\circ42'$

1. Найдем третий угол треугольника $\angle ACB$.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно:
$\angle ACB = 180^\circ - (\angle CAB + \angle ABC)$
Найдем сумму известных углов:
$\angle CAB + \angle ABC = 12^\circ30' + 72^\circ42' = (12+72)^\circ(30+42)' = 84^\circ72'$.
Так как в одном градусе 60 минут ($1^\circ = 60'$), то $72' = 1^\circ12'$. Таким образом, сумма углов равна $84^\circ + 1^\circ12' = 85^\circ12'$.
Теперь вычислим угол $\angle ACB$:
$\angle ACB = 180^\circ - 85^\circ12' = 179^\circ60' - 85^\circ12' = 94^\circ48'$.

2. Найдем длину стороны BC по теореме синусов.
Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:
$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{BC}{\sin(\angle CAB)}$
Выразим из этой формулы сторону BC:
$BC = \frac{AB \cdot \sin(\angle CAB)}{\sin(\angle ACB)} = \frac{70 \cdot \sin(12^\circ30')}{\sin(94^\circ48')}$

3. Найдем ширину реки (высоту CH).
Высота CH образует прямоугольный треугольник CHB с гипотенузой BC. В этом треугольнике высота CH является катетом, противолежащим углу $\angle ABC$. По определению синуса:
$\sin(\angle ABC) = \frac{CH}{BC}$
Отсюда ширина реки равна:
$CH = BC \cdot \sin(\angle ABC)$
Подставим в эту формулу выражение для BC, найденное на предыдущем шаге:
$CH = \frac{70 \cdot \sin(12^\circ30') \cdot \sin(72^\circ42')}{\sin(94^\circ48')}$

4. Произведем вычисления.
Для удобства вычислений переведем градусы и минуты в десятичные градусы:
$12^\circ30' = 12.5^\circ$
$72^\circ42' = 72 + \frac{42}{60} = 72.7^\circ$
$94^\circ48' = 94 + \frac{48}{60} = 94.8^\circ$
Теперь вычислим значения синусов и найдем CH:
$\sin(12.5^\circ) \approx 0.21644$
$\sin(72.7^\circ) \approx 0.95473$
$\sin(94.8^\circ) \approx 0.99645$
$CH \approx \frac{70 \cdot 0.21644 \cdot 0.95473}{0.99645} \approx \frac{14.464}{0.99645} \approx 14.515$ м.

Округлим результат до сотых.

Ответ: 14,52 м.