Номер 1040, страница 264 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1040, страница 264.

Условие.

1040 Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и диагональ $BD$ равна стороне ромба. Найдите угол между векторами:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$;

в) $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$;

г) $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$;

д) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$;

е) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, $ABCD$ — ромб, диагонали которого пересекаются в точке $O$, и диагональ $BD$ равна стороне ромба. Пусть сторона ромба равна $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$. Также дано, что $BD = a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Его стороны $AB$, $AD$ и $BD$ равны $a$. Следовательно, $\triangle ABD$ является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$. В частности, $\angle DAB = 60^\circ$.

Аналогично, $\triangle BCD$ также является равносторонним, так как $BC=CD=BD=a$. Следовательно, $\angle BCD = 60^\circ$.

Углы ромба:

• $\angle A = \angle DAB = 60^\circ$
• $\angle C = \angle BCD = 60^\circ$
• $\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$
• $\angle D = \angle ADC = \angle ADB + \angle CDB = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Теперь найдем углы между векторами.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ исходят из одной точки $A$. Угол между ними равен углу при вершине $A$ ромба, то есть $\angle DAB$.

Как было установлено, $\angle DAB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$

Для нахождения угла между векторами необходимо совместить их начала. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$ — это угол между $\vec{AB}$ и $-\vec{AD}$. Этот угол равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $60^\circ$. Следовательно, искомый угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Другой способ: перенесем вектор $\vec{AB}$ так, чтобы его начало было в точке $D$. В ромбе $\vec{AB} = \vec{DC}$. Тогда искомый угол равен углу между векторами $\vec{DC}$ и $\vec{DA}$. Эти векторы исходят из одной точки $D$, значит, угол между ними равен $\angle ADC$. Ранее мы нашли, что $\angle ADC = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

в) $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$

Совместим начала векторов. Перенесем вектор $\vec{AD}$ так, чтобы его начало было в точке $B$. В ромбе $\vec{AD} = \vec{BC}$. Искомый угол равен углу между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Эти векторы исходят из одной точки $B$, значит, угол между ними равен $\angle ABC$.

Ранее мы нашли, что $\angle ABC = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

г) $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$

Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ исходят из одной точки $O$. Угол между ними равен $\angle COD$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому $\angle COD = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

д) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$

Данный пункт полностью совпадает с пунктом б). Решение и ответ те же.

Ответ: $120^\circ$

е) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

В ромбе $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Вектор $\vec{AB}$ сонаправлен с вектором $\vec{DC}$, и их длины равны, то есть $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Вектор $\vec{CD}$ является противоположным вектору $\vec{DC}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{DC}$.

Следовательно, $\vec{CD} = -\vec{AB}$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ являются противоположно направленными.

Угол между противоположно направленными векторами равен $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$