Номер 1105, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1105, страница 282.

Условие.

1105 Найдите длину окружности, вписанной:

а) в квадрат со стороной $a$;

б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$;

в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$;

г) в равнобедренный треугольник с углом при основании $\alpha$ и высотой $h$, проведённой к основанию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$, где $r$ – радиус окружности. Для окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$, диаметр окружности равен стороне квадрата, то есть $d = a$. Радиус окружности равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$. Тогда длина вписанной окружности равна $L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{a}{2} = \pi a$.

Ответ: $\pi a$.

б) В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Обозначим их $x$. По теореме Пифагора $x^2 + x^2 = c^2$, где $c$ – гипотенуза. Отсюда $2x^2 = c^2$, и $x = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ – катеты, а $c$ – гипотенуза. В нашем случае $a=b=x$, поэтому $r = \frac{x+x-c}{2} = \frac{2x-c}{2}$. Подставим найденное значение $x$: $r = \frac{2 \cdot \frac{c\sqrt{2}}{2} - c}{2} = \frac{c\sqrt{2} - c}{2} = \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2}$. Длина окружности $L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2} = \pi c(\sqrt{2}-1)$.

Ответ: $\pi c(\sqrt{2}-1)$.

в) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Они связаны с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ соотношениями: $a = c \sin \alpha$ и $b = c \cos \alpha$. Радиус вписанной окружности $r$ для прямоугольного треугольника равен $r = \frac{a+b-c}{2}$. Подставим выражения для катетов: $r = \frac{c \sin \alpha + c \cos \alpha - c}{2} = \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2}$. Тогда длина окружности $L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2} = \pi c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)$.

Ответ: $\pi c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)$.

г) Пусть дан равнобедренный треугольник с высотой $h$, проведённой к основанию, и углом при основании $\alpha$. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр. Высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. Обозначим половину основания как $x$, а боковую сторону как $b$. Из этого треугольника имеем: $x = \frac{h}{\tan \alpha} = h \cot \alpha$ и $b = \frac{h}{\sin \alpha}$. Основание треугольника равно $2x = 2h \cot \alpha$. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot (2x) \cdot h = xh = (h \cot \alpha) \cdot h = h^2 \cot \alpha$. Полупериметр: $p = \frac{b+b+2x}{2} = b + x = \frac{h}{\sin \alpha} + h \cot \alpha = \frac{h}{\sin \alpha} + \frac{h \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{h(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha}$. Теперь найдём радиус: $r = \frac{S}{p} = \frac{h^2 \cot \alpha}{\frac{h(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha}} = \frac{h^2 \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{h(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha}} = \frac{h \cos \alpha}{1+\cos \alpha}$. Длина вписанной окружности $L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{h \cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{2\pi h \cos \alpha}{1+\cos \alpha}$.

Ответ: $\frac{2\pi h \cos \alpha}{1+\cos \alpha}$.