Номер 1104, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1104, страница 282.

Условие.

1104 □ Найдите длину окружности, описанной около:

а) правильного треугольника со стороной $a$;

б) прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$;

в) равнобедренного треугольника с основанием $a$ и боковой стороной $b$;

г) прямоугольника с меньшей стороной $a$ и острым углом $\alpha$ между диагоналями;

д) правильного шестиугольника, площадь которого равна $24\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Найдем радиус для каждого случая.

а) Для правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ связан со стороной формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Длина окружности равна:
$C = 2\pi R = 2\pi \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $ \frac{2\pi a\sqrt{3}}{3} $.

б) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Следовательно, радиус $R$ равен половине длины гипотенузы $c$.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ — катеты.
Радиус описанной окружности: $R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.
Длина окружности равна:
$C = 2\pi R = 2\pi \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = \pi\sqrt{a^2 + b^2}$.
Ответ: $ \pi\sqrt{a^2 + b^2} $.

в) Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности для равнобедренного треугольника с основанием $a$ и боковой стороной $b$ воспользуемся формулой $R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.
Стороны треугольника: $a, b, b$.
Найдем высоту $h$, проведенную к основанию. Она делит основание пополам. По теореме Пифагора: $h = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$.
Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}a \cdot \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}$.
Теперь найдем радиус: $R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4S} = \frac{ab^2}{4 \cdot \frac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}} = \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$.
Длина окружности равна:
$C = 2\pi R = \frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$.
Ответ: $ \frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}} $.

г) Диаметр окружности, описанной около прямоугольника, равен его диагонали $d$. Таким образом, радиус $R = \frac{d}{2}$.
Диагонали прямоугольника делят его на четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной $a$ и двумя половинами диагоналей (длиной $R$). Угол между половинами диагоналей, противолежащий стороне $a$, равен острому углу $\alpha$.
По теореме косинусов для этого треугольника:
$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos\alpha = 2R^2(1 - \cos\alpha)$.
Используя формулу $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$a^2 = 2R^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.
Отсюда $a = 2R\sin(\frac{\alpha}{2})$, и радиус $R = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.
Длина окружности равна:
$C = 2\pi R = 2\pi \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi a}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.
Ответ: $ \frac{\pi a}{\sin(\frac{\alpha}{2})} $.

д) Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности $R$ равен его стороне $a$, то есть $R=a$.
Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
По условию, $S = 24\sqrt{3}$ см$^2$.
$\frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$.
$\frac{3a^2}{2} = 24$.
$3a^2 = 48$.
$a^2 = 16$.
$a = 4$ см.
Следовательно, радиус $R = a = 4$ см.
Длина окружности равна:
$C = 2\pi R = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ см.
Ответ: $8\pi$ см.