Номер 13, страница 5 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Начертите прямую и отметьте на ней точки $M$ и $N$ так, чтобы длина отрезка $MN$ была равной 7 см. Отметьте на прямой $MN$ такую точку $P$, что $MP - PN = 3$ см.

13. Начертите прямую и отметьте на ней точки $M$ и $N$ так, чтобы длина отрезка $MN$ была равной 7 см. Отметьте на прямой $MN$ такую точку $P$, что $MP - PN = 3$ см.

По условию задачи, на прямой отмечены точки M и N так, что длина отрезка $MN = 7$ см. Необходимо найти на этой прямой такую точку P, для которой выполняется равенство $MP - PN = 3$ см, где MP и PN – длины соответствующих отрезков.

Для точки P на прямой MN возможны три варианта расположения относительно отрезка MN: P лежит между M и N; P лежит на продолжении отрезка за точкой N; P лежит на продолжении отрезка за точкой M.

Рассмотрим случай, когда точка P лежит на отрезке MN. В этом случае, сумма длин отрезков MP и PN равна длине всего отрезка: $MP + PN = MN = 7$ см. Вместе с условием из задачи $MP - PN = 3$ см, мы получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} MP + PN = 7 \\ MP - PN = 3 \end{cases}$

Сложив оба уравнения, получим: $(MP + PN) + (MP - PN) = 7 + 3$, что упрощается до $2 \cdot MP = 10$. Отсюда находим, что $MP = 5$ см. Подставив это значение в первое уравнение, получим $5 + PN = 7$, откуда $PN = 2$ см. Это решение непротиворечиво, так как $5 + 2 = 7$, и точка P находится между M и N.

Рассмотрим случаи, когда точка P лежит вне отрезка MN.

1. Если P лежит на прямой за точкой N (порядок точек M-N-P), то $MP = MN + PN = 7 + PN$. Подставив это в условие $MP - PN = 3$, получим $(7 + PN) - PN = 3$, или $7 = 3$, что является противоречием. Следовательно, такое расположение невозможно.

2. Если P лежит на прямой за точкой M (порядок точек P-M-N), то $PN = PM + MN = MP + 7$. Подставив это в условие $MP - PN = 3$, получим $MP - (MP + 7) = 3$, или $-7 = 3$, что также является противоречием. Такое расположение тоже невозможно.

Таким образом, существует только одно положение для точки P: она должна находиться на отрезке MN. Для ее построения необходимо начертить прямую, отметить на ней точку M, отложить от нее 7 см и отметить точку N. Затем от точки M в сторону точки N отложить 5 см и отметить искомую точку P.

Ответ: Точка P расположена на отрезке MN на расстоянии 5 см от точки M и 2 см от точки N.