Номер 16, страница 6 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки C и D так, чтобы длина отрезка CD была равной 11 см. Найдите на прямой CD все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка CD равна:

1) 11 см;

2) 14 см;

3) 9 см.

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки $C$ и $D$ так, чтобы длина отрезка $CD$ была равной $11$ см. Найдите на прямой $CD$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $CD$ равна:

1) $11$ см;

2) $14$ см;

3) $9$ см.

Пусть на прямой расположены точки C и D, и расстояние между ними $CD = 11$ см. Нам нужно найти все точки M на этой прямой, для которых сумма расстояний от M до C и от M до D ($MC + MD$) принимает заданные значения. Рассмотрим три возможных случая расположения точки M на прямой относительно отрезка CD.

1. Точка M лежит на отрезке CD (между точками C и D, или совпадает с одной из них).

   В этом случае, по свойству измерения отрезков, сумма длин отрезков MC и MD равна длине всего отрезка CD.

   $MC + MD = CD = 11$ см.

2. Точка M лежит на прямой за точкой D (не принадлежит отрезку CD).

   Точки на прямой расположены в порядке C, D, M. Тогда расстояние MC складывается из длин отрезков CD и DM: $MC = CD + MD = 11 + MD$.

   Сумма расстояний будет равна: $MC + MD = (11 + MD) + MD = 11 + 2 \cdot MD$.

   Поскольку $MD > 0$, то сумма расстояний $MC + MD$ всегда будет больше 11 см.

3. Точка M лежит на прямой за точкой C (не принадлежит отрезку CD).

   Точки на прямой расположены в порядке M, C, D. Тогда расстояние MD складывается из длин отрезков MC и CD: $MD = MC + CD = MC + 11$.

   Сумма расстояний будет равна: $MC + MD = MC + (MC + 11) = 2 \cdot MC + 11$.

   Поскольку $MC > 0$, то сумма расстояний $MC + MD$ всегда будет больше 11 см.

Из этого анализа следует, что минимально возможная сумма расстояний от точки на прямой до концов отрезка CD равна длине самого отрезка (11 см), и это достигается для любой точки, лежащей на этом отрезке.

Теперь решим каждую из поставленных задач.

1) 11 см

Требуется найти все точки M, для которых $MC + MD = 11$ см. Как было установлено в пункте 1 нашего анализа, это равенство выполняется для всех точек M, которые лежат на отрезке CD, включая его концы.

Ответ: все точки отрезка CD.

2) 14 см

Требуется найти все точки M, для которых $MC + MD = 14$ см. Поскольку $14 > 11$, такие точки должны лежать вне отрезка CD. Рассмотрим два случая, описанных выше.

Случай а) Точка M лежит за точкой D. Из анализа (пункт 2) мы знаем, что $MC + MD = 11 + 2 \cdot MD$. Приравниваем это значение к 14: $11 + 2 \cdot MD = 14$ $2 \cdot MD = 14 - 11$ $2 \cdot MD = 3$ $MD = 1,5$ см. Следовательно, одна такая точка находится на расстоянии 1,5 см от точки D, на луче, не содержащем точку C.

Случай б) Точка M лежит за точкой C. Из анализа (пункт 3) мы знаем, что $MC + MD = 11 + 2 \cdot MC$. Приравниваем это значение к 14: $11 + 2 \cdot MC = 14$ $2 \cdot MC = 14 - 11$ $2 \cdot MC = 3$ $MC = 1,5$ см. Следовательно, вторая такая точка находится на расстоянии 1,5 см от точки C, на луче, не содержащем точку D.

Ответ: существуют две такие точки. Одна расположена на прямой на расстоянии 1,5 см от точки C вне отрезка CD, а вторая — на расстоянии 1,5 см от точки D вне отрезка CD.

3) 9 см

Требуется найти все точки M, для которых $MC + MD = 9$ см. Как мы выяснили в общем анализе, для любой точки M на прямой, содержащей отрезок CD, выполняется неравенство треугольника: $MC + MD \ge CD$. В нашем случае $MC + MD \ge 11$ см. Поскольку $9 < 11$, не существует ни одной точки на прямой, для которой сумма расстояний до точек C и D была бы равна 9 см.

Ответ: таких точек не существует.