Номер 183, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Дан треугольник $CDM$. Постройте точку, равноудалённую от точек $C$ и $D$ и находящуюся на расстоянии 2 см от точки $M$. Сколько решений может иметь задача?

183. Дан треугольник CDM. Постройте точку, равноудалённую от точек C и D и находящуюся на расстоянии 2 см от точки M. Сколько решений может иметь задача?

Для нахождения искомой точки необходимо определить геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих каждому из двух условий, а затем найти их пересечение.

Постройте точку, равноудалённую от точек C и D и находящуюся на расстоянии 2 см от точки М.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (C и D), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Обозначим этот серединный перпендикуляр к отрезку CD как прямую l.

2. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии (2 см) от данной точки (M), представляет собой окружность с центром в этой точке и радиусом, равным заданному расстоянию. Обозначим эту окружность с центром в M и радиусом $R = 2$ см как окружность k.

Искомая точка (или точки) является точкой пересечения серединного перпендикуляра l и окружности k.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки C и D отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр l к отрезку CD. Для этого из точек C и D как из центров провести две пары дуг окружности одинакового радиуса (большего половины длины отрезка CD) по обе стороны от отрезка до их взаимного пересечения. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром l.
3. Построить окружность k с центром в точке M и радиусом 2 см.
4. Точки, в которых прямая l пересекает окружность k, являются искомыми.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку CD и окружности с центром в точке M и радиусом 2 см.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи определяется количеством точек пересечения прямой l (серединного перпендикуляра к CD) и окружности k (с центром M и радиусом $R=2$ см). Это количество зависит от расстояния d от центра окружности M до прямой l.

Возможны три случая в зависимости от соотношения между расстоянием d и радиусом R:

• Если расстояние от точки M до прямой l больше радиуса окружности, то есть $d > 2$ см, то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений (0 решений).
• Если расстояние от точки M до прямой l равно радиусу окружности, то есть $d = 2$ см, то прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние от точки M до прямой l меньше радиуса окружности, то есть $d < 2$ см, то прямая пересекает окружность в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.

Ответ: В зависимости от взаимного расположения точек C, D и M, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.