Номер 177, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника, проведённой из вершины угла при основании, и углу при основании.

177. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника, проведённой из вершины угла при основании, и углу при основании.

Пусть искомый равнобедренный треугольник – это $ABC$ с основанием $BC$, так что $AB=AC$. Пусть $\alpha$ – данный угол при основании, то есть $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$. Пусть $l$ – данная длина биссектрисы, проведённой из вершины угла при основании. Без ограничения общности, пусть это будет биссектриса $BD$ угла $\angle ABC$ (точка $D$ лежит на стороне $AC$).

Анализ

В искомом треугольнике $ABC$ должны выполняться следующие условия:

• Углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$.
• Угол при вершине: $\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha$.
• $BD$ – биссектриса угла $\angle ABC$, поэтому $\angle ABD = \angle DBC = \alpha/2$.
• Длина $BD$ равна данной длине $l$.

Рассмотрим треугольник $BDC$. Мы можем определить все его углы и одну сторону через данные величины:

• Сторона $BD = l$.
• Угол $\angle DBC = \alpha/2$.
• Угол $\angle BCD = \angle ACB = \alpha$.
• Следовательно, третий угол $\angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle BCD) = 180^\circ - (\alpha/2 + \alpha) = 180^\circ - 3\alpha/2$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $BDC$ по стороне $BD$ и двум прилежащим к ней углам. После построения этого треугольника мы найдём вершины $B$ и $C$. Вершина $A$ будет лежать на продолжении отрезка $CD$ за точку $D$. Чтобы найти точку $A$, мы построим луч из точки $B$, составляющий с лучом $BD$ угол $\angle ABD$, равный $\alpha/2$. Пересечение этого луча с прямой $CD$ и даст нам вершину $A$.

Построение

Пусть дан отрезок длины $l$ и угол $\alpha$.

1. С помощью циркуля и линейки построим угол, равный $\alpha/2$, разделив данный угол $\alpha$ пополам (построение биссектрисы).
2. Построим угол $3\alpha/2$, приложив угол $\alpha/2$ к углу $\alpha$. Затем построим смежный с ним угол, равный $180^\circ - 3\alpha/2$.
3. Построим отрезок $BD$ равный по длине $l$.
4. От луча $BD$ в одной полуплоскости отложим угол $\angle DBC$, равный $\alpha/2$.
5. От луча $DB$ в той же полуплоскости отложим угол $\angle BDC$, равный $180^\circ - 3\alpha/2$.
6. Лучи, построенные на шагах 4 и 5, пересекутся в точке $C$. Треугольник $BDC$ построен.
7. Проведём прямую через точки $C$ и $D$.
8. От луча $DB$ в полуплоскость, не содержащую точку $C$, отложим угол $\angle ABD$, равный $\alpha/2$.
9. Проведём луч из точки $B$, образующий этот угол. Точка пересечения этого луча с прямой $CD$ будет вершиной $A$.
10. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• По построению, отрезок $BD$ имеет заданную длину $l$.
• По построению, $\angle ABD = \angle DBC = \alpha/2$. Следовательно, $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, и величина этого угла равна $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$.
• В треугольнике $BDC$, построенном на шагах 3-6, углы $\angle DBC$ и $\angle BDC$ равны $\alpha/2$ и $180^\circ - 3\alpha/2$ соответственно. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle BCD = 180^\circ - (\alpha/2 + 180^\circ - 3\alpha/2) = \alpha$.
• Таким образом, в треугольнике $ABC$ углы при стороне $BC$ равны: $\angle ABC = \alpha$ и $\angle ACB = \angle BCD = \alpha$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Все условия задачи выполнены, построенный треугольник является искомым.

Примечание: Задача имеет решение, если все углы в построении являются положительными. В частности, угол при вершине искомого треугольника $\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha$ должен быть больше нуля, что означает $2\alpha < 180^\circ$, или $\alpha < 90^\circ$. То есть, данный угол при основании должен быть острым.

Ответ: Построение основано на анализе и построении вспомогательного треугольника $BDC$, где $B$ и $C$ - вершины при основании искомого треугольника $ABC$, а $D$ - точка на боковой стороне $AC$. Этот треугольник строится по стороне $BD$ (равной данной биссектрисе $l$) и двум прилежащим к ней углам: $\angle DBC = \alpha/2$ и $\angle BDC = 180^\circ - 3\alpha/2$, где $\alpha$ - данный угол при основании. После построения $\triangle BDC$ третья вершина $A$ находится как пересечение прямой $CD$ и луча, выходящего из $B$ под углом $\alpha/2$ к $BD$ (с другой стороны от $BC$).