Номер 176, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную данной прямой. Сколько решений имеет задача?

176. Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную данной прямой. Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи проведем анализ, который приведет к алгоритму построения и ответу на вопрос о количестве решений.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и некоторая прямая $l$. Требуется построить касательную $t$ к окружности, которая будет перпендикулярна прямой $l$.

Анализ

По определению, касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Если $A$ — точка касания искомой касательной $t$, то радиус $OA$ перпендикулярен касательной $t$. Запишем это как $OA \perp t$.

По условию задачи, касательная $t$ должна быть перпендикулярна прямой $l$. Запишем это как $t \perp l$.

Мы имеем две прямые ($OA$ и $l$), которые перпендикулярны одной и той же прямой $t$. Из этого следует, что прямые $OA$ и $l$ параллельны друг другу: $OA \parallel l$.

Таким образом, задача сводится к нахождению на окружности таких точек $A$, радиусы в которые параллельны данной прямой $l$. Касательные, проведенные в этих точках, и будут искомыми.

Построение

1. Через центр окружности $O$ проводим прямую $m$, параллельную данной прямой $l$.
2. Прямая $m$ является диаметром окружности и пересекает ее в двух точках. Обозначим эти точки $A_1$ и $A_2$.
3. Через точку $A_1$ проводим прямую $t_1$, перпендикулярную прямой $m$ (и, следовательно, радиусу $OA_1$).
4. Через точку $A_2$ проводим прямую $t_2$, перпендикулярную прямой $m$ (и, следовательно, радиусу $OA_2$).

Построенные прямые $t_1$ и $t_2$ являются касательными к окружности в точках $A_1$ и $A_2$. Так как они перпендикулярны прямой $m$, а прямая $m$ параллельна $l$, то прямые $t_1$ и $t_2$ перпендикулярны и прямой $l$. Таким образом, они удовлетворяют всем условиям задачи.

Количество решений

Алгоритм построения всегда выполним. Прямая $m$, проведенная через центр окружности, всегда пересекает ее ровно в двух диаметрально противоположных точках. Это означает, что всегда существуют ровно две точки касания, а значит, и две искомые касательные ($t_1$ и $t_2$). Эти две касательные параллельны друг другу.

Ответ: задача всегда имеет два решения. Для построения необходимо провести диаметр, параллельный данной прямой, и построить касательные в точках пересечения этого диаметра с окружностью.