Номер 178, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и высоте, проведённой к боковой стороне.

178. Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и высоте, проведённой к боковой стороне.

Пусть дан угол $ \alpha $ — угол при вершине равнобедренного треугольника, и отрезок $ h_b $ — высота, проведённая к боковой стороне. Требуется построить равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $ с вершиной $ A $, так что $ AB = AC $, $ \angle BAC = \alpha $, и высота из вершины $ C $ на сторону $ AB $ равна $ h_b $.

Пусть искомый треугольник $ \triangle ABC $ построен. $ A $ — его вершина, $ AB = AC $ — боковые стороны, $ \angle BAC = \alpha $. Пусть $ CD $ — высота, опущенная из вершины $ C $ на прямую, содержащую сторону $ AB $. Тогда $ CD = h_b $ и $ \angle CDA = 90^\circ $.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ADC $. В нём известен катет $ CD = h_b $ и противолежащий ему угол $ \angle CAD = \alpha $. Из соотношений в прямоугольном треугольнике гипотенуза $ AC $ (боковая сторона искомого треугольника) равна $ AC = \frac{h_b}{\sin(\alpha)} $.
Таким образом, задача сводится к построению боковой стороны, а затем и всего треугольника. Более прямой метод построения основан на определении положения вершин. Сначала строится угол $ \alpha $, а затем находится положение вершины $ C $ на одной из его сторон, используя тот факт, что её расстояние до другой стороны равно $ h_b $.

1. Строим произвольный луч $ AX $.
2. От луча $ AX $ откладываем данный угол $ \alpha $, строя луч $ AY $. Таким образом, $ \angle XAY = \alpha $. На лучах $ AX $ и $ AY $ будут лежать боковые стороны искомого треугольника.
3. Теперь необходимо найти вершины $ B $ и $ C $. Вершина $ C $ должна находиться на луче $ AY $ на расстоянии $ h_b $ от луча $ AX $. Для нахождения точки $ C $ строим прямую $ l $, параллельную $ AX $ и отстоящую от неё на расстояние $ h_b $. Для этого: а) выбираем на луче $ AX $ произвольную точку $ P $; б) восстанавливаем в точке $ P $ перпендикуляр к лучу $ AX $; в) на этом перпендикуляре откладываем отрезок $ PQ $, равный данной высоте $ h_b $; г) через точку $ Q $ проводим прямую $ l $, параллельную $ AX $.
4. Прямая $ l $ пересекает луч $ AY $ в некоторой точке. Эта точка и есть вершина $ C $ искомого треугольника.
5. Теперь известна длина боковой стороны $ AC $. Так как треугольник равнобедренный ($ AB = AC $), на луче $ AX $ откладываем отрезок $ AB $, равный отрезку $ AC $. Для этого проводим дугу окружности с центром в точке $ A $ и радиусом $ AC $. Точка пересечения этой дуги с лучом $ AX $ будет вершиной $ B $.
6. Соединяем точки $ B $ и $ C $ отрезком.
Треугольник $ \triangle ABC $ построен.

В построенном треугольнике $ \triangle ABC $: $ AB = AC $ по построению (как радиусы одной окружности), следовательно, треугольник является равнобедренным. Угол при вершине $ \angle BAC $ по построению равен данному углу $ \alpha $. Высота, опущенная из вершины $ C $ на прямую $ AB $ (то есть на луч $ AX $), равна расстоянию от точки $ C $ до прямой $ AX $. По построению точка $ C $ лежит на прямой $ l $, которая параллельна $ AX $ и находится на расстоянии $ h_b $ от неё. Следовательно, высота из $ C $ на $ AB $ равна $ h_b $. Таким образом, построенный треугольник $ \triangle ABC $ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет решение, если прямая $ l $, параллельная $ AX $, пересекает луч $ AY $. Лучи $ AX $ и $ AY $ образуют угол $ \alpha $. Если $ 0 < \alpha < 180^\circ $, то луч $ AY $ не параллелен лучу $ AX $. Прямая $ l $, будучи параллельной $ AX $, также не будет параллельна $ AY $. Следовательно, прямая $ l $ и луч $ AY $ пересекутся в единственной точке. Если $ \alpha = 180^\circ $ или $ \alpha = 0^\circ $, лучи лежат на одной прямой или совпадают, и пересечения не будет (при $ h_b > 0 $). Если $ h_b = 0 $, треугольник вырождается в отрезок. Таким образом, задача имеет единственное решение при $ 0 < \alpha < 180^\circ $ и $ h_b > 0 $.

Ответ: Алгоритм, описанный в разделе "Построение", позволяет однозначно построить искомый равнобедренный треугольник. Задача имеет единственное решение при условии, что заданный угол $ \alpha $ находится в пределах $ 0 < \alpha < 180^\circ $, а высота $ h_b > 0 $.