Номер 185, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Постройте прямоугольный треугольник по сумме катета и гипотенузы и углу, противолежащему второму катету.

185. Постройте прямоугольный треугольник по сумме катета и гипотенузы и углу, противолежащему второму катету.

Пусть дан отрезок $s$, равный сумме катета $a$ и гипотенузы $c$, и угол $\beta$, противолежащий второму катету $b$. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетами $AC = b$, $BC = a$, гипотенузой $AB = c$, и таким образом, чтобы $a+c=s$ и $\angle B = \beta$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На продолжении катета $BC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$ такой, что $CD = AB = c$. Тогда отрезок $BD = BC + CD = a + c = s$. Соединим точки $A$ и $D$. Получим треугольник $ACD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как по построению $CD = AB$, а $C$ лежит между $B$ и $D$, то треугольник $ABD$ не существует в таком виде. Изменим построение.

На продолжении катета $BC$ за точку $B$ отложим отрезок $BD$, равный гипотенузе $AB = c$. Тогда получим отрезок $CD = CB + BD = a + c = s$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AB = BD$, он является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании $AD$ равны: $\angle BAD = \angle BDA$.

Угол $\angle ABC$ (который равен данному углу $\beta$) является внешним углом для треугольника $ABD$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ABC = \angle BAD + \angle BDA$. Так как $\angle BAD = \angle BDA$, то $\beta = 2 \cdot \angle BDA$, откуда $\angle BDA = \frac{\beta}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. В нем:

• $\angle C = 90^{\circ}$ (так как $AC \perp CD$).
• Сторона $CD = a+c = s$.
• Угол $\angle CDA = \frac{\beta}{2}$.

Этот треугольник можно построить по катету ($CD$) и прилежащему острому углу ($\angle D$). После построения треугольника $ACD$, мы можем найти вершину $B$. Точка $B$ лежит на отрезке $CD$. Кроме того, так как $AB=BD$, точка $B$ равноудалена от точек $A$ и $D$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения отрезка $CD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AD$.

Отсюда вытекает план построения.

Ответ: Анализ задачи показал, что для построения искомого треугольника можно сначала построить вспомогательный прямоугольный треугольник $ACD$ по катету $CD=s$ и прилежащему острому углу $\angle D = \frac{\beta}{2}$. Вершина $B$ искомого треугольника находится как пересечение стороны $CD$ и серединного перпендикуляра к стороне $AD$.

Построение

1. Построить данный угол $\beta$ и его биссектрису, чтобы получить угол, равный $\frac{\beta}{2}$.
2. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $C$.
3. На этой прямой от точки $C$ отложить отрезок $CD$, равный данной сумме $s$.
4. Восстановить в точке $C$ перпендикуляр к прямой $CD$.
5. В точке $D$ построить угол, равный $\frac{\beta}{2}$, так, чтобы одна его сторона лежала на прямой $CD$, а другая пересекала перпендикуляр, восстановленный из точки $C$.
6. Точку пересечения луча угла и перпендикуляра обозначить $A$. Получен треугольник $ACD$.
7. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AD$.
8. Точку пересечения этого серединного перпендикуляра с отрезком $CD$ обозначить $B$.
9. Соединить точки $A$ и $B$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен в соответствии с описанными шагами.

Доказательство

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. По построению, $\angle ACB = 90^{\circ}$, так как точка $A$ лежит на перпендикуляре к прямой $CD$, проведенном через точку $C$. Следовательно, $ABC$ — прямоугольный треугольник.

2. Точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, поэтому $AB = BD$.

3. Рассмотрим сумму катета $BC$ и гипотенузы $AB$. По построению, точка $B$ лежит на отрезке $CD$. Значит, $CD = CB + BD$. Так как мы доказали, что $AB = BD$, то $CD = CB + AB$. По построению $CD = s$, следовательно, $BC + AB = s$.

4. Найдем величину угла $\angle ABC$. Так как $AB = BD$, треугольник $ABD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAD = \angle BDA$. По построению, $\angle BDA = \frac{\beta}{2}$, значит, и $\angle BAD = \frac{\beta}{2}$. Угол $\angle ABC$ является внешним для треугольника $ABD$. Его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ABC = \angle BAD + \angle BDA = \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} = \beta$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является прямоугольным, угол, противолежащий катету $AC$, равен $\beta$, а сумма катета $BC$ и гипотенузы $AB$ равна $s$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение верное, так как построенный треугольник $ABC$ является прямоугольным, удовлетворяет условию $BC+AB=s$ и имеет угол $\angle B = \beta$.