Номер 179, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по его высоте, проведённой к гипотенузе.

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по его высоте, проведённой к гипотенузе.

Задача состоит в построении равнобедренного прямоугольного треугольника по известной длине его высоты, проведённой к гипотенузе. Обозначим эту высоту как $h$.

Анализ

Пусть $\triangle ABC$ — искомый равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором $\angle C = 90^\circ$, а катеты $AC=BC$. В таком треугольнике углы при гипотенузе равны, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

Пусть $CH$ — высота, проведённая из вершины $C$ к гипотенузе $AB$, и её длина равна $h$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $H$ — середина гипотенузы $AB$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом, $CH = \frac{1}{2}AB$.

Так как $H$ — середина $AB$, то $AH = HB = \frac{1}{2}AB$. Из этих двух свойств следует ключевое для построения соотношение: $CH = AH = HB = h$.

Это означает, что высота $CH$ делит треугольник $\triangle ABC$ на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$.

Построение

1. Проведём произвольную прямую $a$. Отметим на ней произвольную точку $H$.
2. С помощью циркуля и линейки построим прямую $b$, проходящую через точку $H$ перпендикулярно прямой $a$.
3. На прямой $b$ отложим отрезок $HC$, равный данной высоте $h$.
4. Построим окружность с центром в точке $H$ и радиусом, равным длине отрезка $HC$.
5. Точки пересечения этой окружности с прямой $a$ обозначим как $A$ и $B$.
6. Соединим отрезками точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$.

Полученный треугольник $\triangle ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $\triangle ABC$.

По построению, отрезок $CH$ перпендикулярен стороне $AB$, следовательно, $CH$ является высотой треугольника, и её длина равна $h$.

Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $H$ и радиусом $HC$. Следовательно, $HA = HB = HC = h$.

В треугольнике $\triangle AHC$ угол $\angle AHC = 90^\circ$ и катеты $AH$ и $CH$ равны $h$. Значит, $\triangle AHC$ — равнобедренный прямоугольный, и его острые углы $\angle HAC = \angle HCA = 45^\circ$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle BHC$ угол $\angle BHC = 90^\circ$ и катеты $BH$ и $CH$ равны $h$. Значит, $\triangle BHC$ — равнобедренный прямоугольный, и его острые углы $\angle HBC = \angle HCB = 45^\circ$.

В итоговом треугольнике $\triangle ABC$ имеем:

• $\angle A = \angle HAC = 45^\circ$
• $\angle B = \angle HBC = 45^\circ$
• $\angle C = \angle HCA + \angle HCB = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

Поскольку углы при стороне $AB$ равны, то треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным. Поскольку угол $C$ равен $90^\circ$, треугольник является прямоугольным. Высота, проведённая к гипотенузе, по построению равна $h$. Следовательно, построенный треугольник $\triangle ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник, построенный по описанному алгоритму, является искомым равнобедренным прямоугольным треугольником.