Номер 180, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Постройте равносторонний треугольник по его медиане.

180. Постройте равносторонний треугольник по его медиане.

Для построения равностороннего треугольника по его медиане, необходимо воспользоваться ключевыми свойствами такого треугольника. Основное свойство заключается в том, что в равностороннем треугольнике медиана, проведенная к любой из сторон, является также высотой и биссектрисой.

Пусть нам дан равносторонний треугольник $\triangle ABC$ и его медиана $AM$ длиной $m$. Так как $AM$ является также высотой, то она перпендикулярна стороне $BC$, образуя прямой угол $\angle AMB = 90^\circ$. Так как $AM$ является и биссектрисой угла $\angle BAC$, а в равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, то $\angle BAM = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Таким образом, медиана $AM$ делит равносторонний треугольник $\triangle ABC$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$. В каждом из этих треугольников мы знаем:

• Катет $AM = m$ (данная медиана).
• Прилежащий к нему острый угол $\angle MAB = 30^\circ$.
• Противолежащий ему острый угол $\angle ABM = 60^\circ$.

Задача сводится к построению прямоугольного треугольника $AMB$ по катету $m$ и прилежащему острому углу $30^\circ$. Построив его, мы найдем вершины $A$ и $B$, а также середину $M$ стороны $BC$. Вершина $C$ находится симметрично вершине $B$ относительно точки $M$.

Пусть дан отрезок, равный по длине медиане $m$.

1. Начертим произвольную прямую $l$. На ней выберем точку $M$. Эта прямая будет содержать основание $BC$ искомого треугольника.
2. Через точку $M$ проведем прямую $h$, перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $h$ отложим от точки $M$ отрезок $MA$, равный данной медиане $m$.
4. Построим угол $\angle MAB = 30^\circ$. Для этого с вершиной в точке $A$ сначала построим угол $60^\circ$. Проведем дугу окружности с центром в $A$ и произвольным радиусом, которая пересечет луч $AM$ в точке $K$. Затем с центром в $K$ и тем же радиусом проведем вторую дугу до пересечения с первой в точке $P$. Угол $\angle PAK$ будет равен $60^\circ$.
5. Построим биссектрису угла $\angle PAK$. Полученный луч $AD$ образует с лучом $AM$ угол $\angle MAD = 30^\circ$.
6. Найдем точку пересечения луча $AD$ с прямой $l$. Обозначим эту точку как $B$.
7. На прямой $l$ отложим от точки $M$ в сторону, противоположную $B$, отрезок $MC$ равный отрезку $MB$.
8. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$.

Треугольник $\triangle ABC$ является искомым равносторонним треугольником.

Проверим, что построенный $\triangle ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

• Отрезок $AM$ является медианой $\triangle ABC$, так как $M$ — середина стороны $BC$ по построению ($MB=MC$). Длина медианы $AM$ равна $m$ по построению.
• Отрезок $AM$ является высотой $\triangle ABC$, так как прямая $h$ (содержащая $AM$) перпендикулярна прямой $l$ (содержащей $BC$) по построению.
• Поскольку в $\triangle ABC$ отрезок $AM$ является одновременно медианой и высотой, то $\triangle ABC$ — равнобедренный, с $AB = AC$.
• В прямоугольном $\triangle AMB$ ($\angle AMB = 90^\circ$), угол $\angle MAB$ построен равным $30^\circ$. Следовательно, третий угол $\angle ABM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
• В равнобедренном $\triangle ABC$ углы при основании равны: $\angle ACB = \angle ABC = 60^\circ$.
• Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.
• Так как все углы $\triangle ABC$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

Таким образом, построенный треугольник является равносторонним, и его медиана имеет заданную длину $m$.

Ответ: Искомый равносторонний треугольник строится на основе прямоугольного треугольника, образованного медианой, половиной стороны искомого треугольника и одной из его сторон. Построение подробно описано выше.