Номер 174, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $K$. Найдите $BK$, если $AC = 6 \text{ см}$, а периметр треугольника $ABC$ равен $16 \text{ см}$.

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $K$. Найдите $BK$, если $AC = 6$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен $16$ см.

Для решения задачи воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной вершины. Согласно этому свойству, длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $K$ и $N$ соответственно. Тогда справедливы следующие равенства:

• $AM = AN$ (касательные из вершины A)
• $BM = BK$ (касательные из вершины B)
• $CK = CN$ (касательные из вершины C)

Периметр треугольника $P_{ABC}$ — это сумма длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Выразим длины сторон через отрезки касательных:

$P_{ABC} = (AM + MB) + (BK + KC) + (AN + NC)$.

Используя равенства длин отрезков касательных, сделаем замену:

$P_{ABC} = (AN + BK) + (BK + CN) + (AN + CN)$.

Сгруппировав подобные слагаемые, получим:

$P_{ABC} = 2 \cdot AN + 2 \cdot BK + 2 \cdot CN = 2 \cdot (AN + BK + CN)$.

Полупериметр треугольника, обозначаемый как $p$, равен половине периметра:

$p = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{2 \cdot (AN + BK + CN)}{2} = AN + BK + CN$.

По условию задачи, периметр $P_{ABC} = 16$ см, следовательно, полупериметр равен:

$p = \frac{16}{2} = 8$ см.

Из выражения для полупериметра $p = AN + BK + CN$ можно сгруппировать слагаемые $AN$ и $CN$:

$p = (AN + CN) + BK$.

Сумма $AN + CN$ равна длине стороны $AC$. По условию, $AC = 6$ см.

Подставим известные значения в полученную формулу:

$8 = 6 + BK$.

Отсюда находим искомую длину отрезка $BK$:

$BK = 8 - 6 = 2$ см.

Ответ: 2 см.