Номер 168, страница 26 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Точка пересечения медиан $AM$ и $BK$ треугольника $ABC$ является центром описанной около него окружности. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

168. Точка пересечения медиан $AM$ и $BK$ треугольника $ABC$ является центром описанной около него окружности. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Пусть $O$ — точка пересечения медиан $AM$ и $BK$ в треугольнике $ABC$.

1. Свойства точки пересечения медиан. По определению, точка пересечения медиан треугольника является его центроидом. По условию задачи, эта же точка $O$ является и центром описанной около треугольника $ABC$ окружности. Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Таким образом, в треугольнике $ABC$ центроид совпадает с центром описанной окружности.

2. Доказательство равенства сторон AC и AB. Рассмотрим медиану $AM$. Она соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Поскольку центр описанной окружности $O$ лежит на прямой $AM$, то прямая $AM$ является серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Это означает, что медиана $AM$ является одновременно и высотой треугольника, то есть $AM \perp BC$. Если в треугольнике медиана, проведенная к одной из сторон, является также и высотой к этой стороне, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный со сторонами $AB = AC$.

3. Доказательство равенства сторон AB и BC. Аналогично рассмотрим медиану $BK$. Она соединяет вершину $B$ с серединой стороны $AC$. Поскольку центр описанной окружности $O$ лежит на прямой $BK$, то прямая $BK$ является серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Это означает, что медиана $BK$ является одновременно и высотой треугольника, то есть $BK \perp AC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным со сторонами $AB = BC$.

4. Заключение. Из результатов, полученных в пунктах 2 и 3, мы имеем: $AB = AC$ и $AB = BC$. Объединяя эти равенства, получаем, что все стороны треугольника равны: $AB = AC = BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: треугольник $ABC$ является равносторонним.