Номер 164, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. На рисунке 62 прямая $BC$ касается окружности с центром $O$ в точке $B$. Найдите

$\angle AOB$, если $\angle ABC = 63^{\circ}$.

Рис. 62

164. На рисунке 62 прямая $BC$ касается окружности с центром $O$ в точке $B$. Найдите $\angle AOB$, если $\angle ABC = 63^\circ$.

Рис. 62

Согласно свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой касательной. В данном случае радиус OB перпендикулярен касательной BC в точке B. Следовательно, угол $ \angle OBC $ является прямым:

$ \angle OBC = 90^{\circ} $

Угол $ \angle OBC $ состоит из двух углов: $ \angle OBA $ и $ \angle ABC $. По условию, $ \angle ABC = 63^{\circ} $. Мы можем найти величину угла $ \angle OBA $:

$ \angle OBA = \angle OBC - \angle ABC = 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} $

Рассмотрим треугольник $ \triangle AOB $. Стороны OA и OB являются радиусами одной и той же окружности, поэтому они равны ($ OA = OB $). Это означает, что треугольник $ \triangle AOB $ — равнобедренный с основанием AB.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому:

$ \angle OAB = \angle OBA = 27^{\circ} $

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Для треугольника $ \triangle AOB $ верно следующее соотношение:

$ \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} $

Подставив известные значения углов, найдем искомый угол $ \angle AOB $:

$ \angle AOB + 27^{\circ} + 27^{\circ} = 180^{\circ} $

$ \angle AOB + 54^{\circ} = 180^{\circ} $

$ \angle AOB = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} $

Ответ: $126^{\circ}$