Номер 161, страница 24 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 4 см.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 4 см.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, расстояние между которыми равно $h = 2$ см. Пусть $M$ — произвольная точка на плоскости. Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $l_1$ как $d_1$, а расстояние до прямой $l_2$ как $d_2$. По условию задачи, мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), для которых выполняется равенство $d_1 + d_2 = 4$ см.

Рассмотрим возможные положения точки $M$ относительно данных прямых.

Если точка $M$ лежит в полосе между прямыми $l_1$ и $l_2$, то сумма расстояний от нее до этих прямых всегда равна расстоянию между самими прямыми: $d_1 + d_2 = h = 2$ см. Так как $2 \neq 4$, в полосе между данными прямыми искомых точек нет.

Если точка $M$ лежит вне полосы, образованной прямыми $l_1$ и $l_2$, то возможны два варианта.
1. Точка $M$ находится по ту сторону от прямой $l_1$, где не лежит прямая $l_2$. Тогда расстояние до дальней прямой $l_2$ выражается через расстояние до ближней прямой $l_1$ как $d_2 = d_1 + h = d_1 + 2$. Подставим это выражение в заданное условие:
$d_1 + (d_1 + 2) = 4$
$2d_1 + 2 = 4$
$2d_1 = 2$
$d_1 = 1$ см.
Следовательно, все точки в этом случае образуют прямую, параллельную прямой $l_1$ и находящуюся на расстоянии 1 см от нее с внешней стороны полосы.

2. Точка $M$ находится по ту сторону от прямой $l_2$, где не лежит прямая $l_1$. Аналогично, расстояние до дальней прямой $l_1$ равно $d_1 = d_2 + h = d_2 + 2$. Подставляя в условие, получим:
$(d_2 + 2) + d_2 = 4$
$2d_2 = 2$
$d_2 = 1$ см.
Эти точки также образуют прямую, параллельную прямой $l_2$ и находящуюся на расстоянии 1 см от нее с внешней стороны полосы.

Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух прямых.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две прямые, параллельные данным. Каждая из этих прямых расположена на расстоянии 1 см от ближайшей к ней из данных прямых, с внешней стороны от полосы, образованной данными прямыми.