Номер 156, страница 24 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Дан отрезок $AB$ длиной 3 см. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $A$ и $B$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой $AB$.

156. Дан отрезок $AB$ длиной 3 см. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $A$ и $B$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой $AB$.

Для решения задачи необходимо найти пересечение двух геометрических мест точек (ГМТ).

1. Первое ГМТ — это множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка, то есть от точек A и B. Таким ГМТ является серединный перпендикуляр к отрезку AB. Обозначим эту прямую как $m$. Каждая точка на прямой $m$ находится на одинаковом расстоянии от A и B.

2. Второе ГМТ — это множество всех точек, находящихся на расстоянии 2 см от прямой AB. Таким ГМТ являются две прямые, параллельные прямой AB и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии 2 см каждая. Обозначим эти прямые как $p_1$ и $p_2$.

Искомое ГМТ — это точки, которые принадлежат обоим множествам одновременно, то есть являются пересечением первого и второго ГМТ. Нам нужно найти точки пересечения прямой $m$ с парой прямых $p_1$ и $p_2$.

По определению, серединный перпендикуляр $m$ к отрезку AB перпендикулярен прямой, содержащей этот отрезок. Прямые $p_1$ и $p_2$, в свою очередь, параллельны прямой AB. Следовательно, прямая $m$ перпендикулярна и прямым $p_1$, и $p_2$.

Так как прямая $m$ не параллельна прямым $p_1$ и $p_2$, она пересекает каждую из них ровно в одной точке. Точка пересечения прямой $m$ с прямой $p_1$ и точка пересечения прямой $m$ с прямой $p_2$ будут удовлетворять обоим условиям задачи.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из двух точек.

Ответ: Искомое ГМТ — это две точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку AB и удаленные от прямой AB на расстояние 2 см.