Номер 162, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 1,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых меньше 2 см.

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 1,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых меньше 2 см.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, расстояние между которыми равно $h = 1,5$ см. Нам необходимо найти геометрическое место точек (ГМТ) $M$, для которых сумма расстояний до этих прямых меньше 2 см. Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $a$ как $d_a$, а до прямой $b$ как $d_b$. По условию задачи, мы ищем множество точек $M$, для которых выполняется неравенство: $d_a + d_b < 2$.

Рассмотрим различные случаи расположения точки $M$ относительно прямых $a$ и $b$.

Если точка $M$ находится между прямыми $a$ и $b$, то сумма расстояний от точки $M$ до прямых $a$ и $b$ всегда равна расстоянию между этими прямыми: $d_a + d_b = h = 1,5$ см. Проверим условие: $1,5 < 2$. Это неравенство является верным. Следовательно, все точки, расположенные в полосе между прямыми $a$ и $b$, принадлежат искомому ГМТ.

Если точка $M$ находится вне полосы, образованной прямыми $a$ и $b$, то рассмотрим два подслучая. Пусть точка $M$ расположена со стороны прямой $a$, противоположной прямой $b$. Обозначим расстояние от $M$ до прямой $a$ как $x$, то есть $d_a = x$. Тогда расстояние от $M$ до прямой $b$ будет равно $d_b = x + h = x + 1,5$. Сумма расстояний в этом случае равна: $d_a + d_b = x + (x + 1,5) = 2x + 1,5$. Подставим это выражение в наше неравенство: $2x + 1,5 < 2$, что равносильно $2x < 0,5$, или $x < 0,25$. Поскольку $x$ — это расстояние, оно неотрицательно ($x \ge 0$), поэтому $0 \le x < 0,25$. Это означает, что искомые точки образуют полосу шириной 0,25 см, примыкающую к прямой $a$ с внешней стороны. Из-за симметрии, аналогичная полоса шириной 0,25 см существует и с внешней стороны прямой $b$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из полосы шириной 1,5 см между данными прямыми, а также двух полос шириной по 0,25 см, примыкающих к данным прямым с внешней стороны. В совокупности эти три части образуют единую открытую полосу, симметричную относительно средней линии между $a$ и $b$. Общая ширина этой полосы составляет $0,25 + 1,5 + 0,25 = 2$ см. Граничные прямые этой полосы не включаются в ГМТ, так как неравенство в условии строгое ($< 2$).

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это внутренняя область полосы, ограниченной двумя прямыми, параллельными данным. Каждая из этих граничных прямых находится на расстоянии 0,25 см от ближайшей из данных прямых и расположена с внешней стороны от полосы, образованной данными прямыми. Ширина искомой полосы составляет 2 см.