Номер 169, страница 26 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. На серединном перпендикуляре стороны $AB$ треугольника $ABC$ отмечена такая точка $O$, что $\angle OAC = \angle OCA$. Докажите, что точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

169. На серединном перпендикуляре стороны AB треугольника ABC отмечена такая точка O, что $\angle OAC = \angle OCA$. Докажите, что точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка, равноудаленная от всех трех вершин этого треугольника. Чтобы доказать, что точка $O$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$, необходимо доказать, что $OA = OB = OC$.

Рассмотрим условия, данные в задаче:

1. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. По определению, любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Следовательно, расстояния от точки $O$ до вершин $A$ и $B$ равны:
$OA = OB$.

2. По условию, в треугольнике $OAC$ углы при стороне $AC$ равны: $\angle OAC = \angle OCA$. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В треугольнике $OAC$ сторона $OC$ лежит напротив угла $\angle OAC$, а сторона $OA$ — напротив угла $\angle OCA$. Так как углы равны, то равны и противолежащие им стороны:
$OA = OC$.

Из полученных равенств $OA = OB$ и $OA = OC$ следует, что все три расстояния от точки $O$ до вершин треугольника равны:
$OA = OB = OC$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $ABC$, она по определению является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, следует $OA=OB$. Из условия $\angle OAC = \angle OCA$ следует, что треугольник $OAC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и, следовательно, $OA=OC$. Таким образом, мы получаем $OA=OB=OC$, что доказывает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.