Номер 163, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $A$. На касательной по разные стороны от точки $A$ отметили точки $B$ и $C$ такие, что $OB = OC$. Найдите $AB$, если $AC = 6$ см.

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $A$. На касательной по разные стороны от точки $A$ отметили точки $B$ и $C$ такие, что $OB = OC$. Найдите $AB$, если $AC = 6$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$.

Прямая, содержащая точки $B$, $A$ и $C$, является касательной к окружности в точке $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, отрезок $OA$ перпендикулярен прямой $BC$. Это означает, что углы $\angle OAB$ и $\angle OAC$ являются прямыми, то есть $\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ$.

Таким образом, треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника. У них есть общий катет $OA$. Их гипотенузы $OB$ и $OC$ равны по условию задачи ($OB = OC$).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе), если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle OAB \cong \triangle OAC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае катет $AB$ треугольника $\triangle OAB$ соответствует катету $AC$ треугольника $\triangle OAC$. Значит, $AB = AC$.

Так как по условию $AC = 6$ см, то и $AB = 6$ см.

Ответ: 6 см.