Номер 167, страница 26 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. На рисунке 65 прямые $AB$, $AC$ и $DF$ касаются окружности в точках $B$, $C$ и $E$ соответственно. Найдите отрезок $AB$, если периметр треугольника $ADF$ равен 16 см.

Рис. 65

167. На рисунке 65 прямые $AB$, $AC$ и $DF$ касаются окружности в точках $B$, $C$ и $E$ соответственно. Найдите отрезок $AB$, если периметр треугольника $ADF$ равен 16 см.

Рис. 65

Периметр треугольника $ADF$ ($P_{ADF}$) равен сумме длин его сторон:
$P_{ADF} = AD + DF + AF$.

Сторону $DF$ можно представить как сумму отрезков $DE$ и $EF$: $DF = DE + EF$.
Тогда периметр можно записать так: $P_{ADF} = AD + DE + EF + AF$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны.
Для точки $D$ отрезки касательных $DB$ и $DE$ равны, то есть $DB = DE$.
Для точки $F$ отрезки касательных $FC$ и $FE$ равны, то есть $FC = FE$.

Подставим эти равенства в формулу периметра, заменив $DE$ на $DB$ и $EF$ на $FC$:
$P_{ADF} = AD + DB + FC + AF$.

Теперь сгруппируем слагаемые:
$P_{ADF} = (AD + DB) + (AF + FC)$.

Из рисунка видно, что сумма отрезков $AD$ и $DB$ составляет отрезок $AB$, а сумма отрезков $AF$ и $FC$ составляет отрезок $AC$.
$AD + DB = AB$
$AF + FC = AC$
Следовательно, периметр равен $P_{ADF} = AB + AC$.

Прямые $AB$ и $AC$ также являются касательными к окружности, проведенными из одной точки $A$. По тому же свойству, их длины равны: $AB = AC$.

Таким образом, периметр треугольника $ADF$ можно выразить через длину отрезка $AB$:
$P_{ADF} = AB + AB = 2 \cdot AB$.

По условию задачи, периметр треугольника $ADF$ равен 16 см. Подставим это значение в полученную формулу:
$16 = 2 \cdot AB$.

Отсюда находим длину отрезка $AB$:
$AB = \frac{16}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.