Номер 171, страница 26 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $3:4$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно 12 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $3:4$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно 12 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$ ($AB = BC$). По условию, основание $AC = 12$ см.

Пусть вписанная в треугольник окружность касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от этой точки до точек касания равны. Следовательно:

$AM = AK$

$BM = BN$

$CN = CK$

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $3:4$, считая от вершины угла при основании. Для боковой стороны $BC$ вершиной при основании является точка $C$. Таким образом, отношение отрезков $CN$ к $BN$ равно $3:4$.

$CN : BN = 3:4$

Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $CN = 3x$, а $BN = 4x$.

Длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков: $BC = CN + BN = 3x + 4x = 7x$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Центр вписанной окружности лежит на этой высоте, поэтому точка касания $K$ на основании $AC$ является его серединой.

Следовательно, $KC = \frac{AC}{2}$.

Подставим известное значение длины основания $AC$:

$KC = \frac{12}{2} = 6$ см.

Используя свойство касательных, мы знаем, что $CK = CN$. Так как $CN = 3x$, получаем уравнение:

$3x = 6$

$x = \frac{6}{3} = 2$ см.

Теперь мы можем найти длину боковой стороны, которая равна $7x$:

$BC = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Ответ: 14 см.