Номер 173, страница 26 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно.

Найдите периметр треугольника $CDE$, если периметр треугольника $ABC$ равен 20 см и $AB = 6$ см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Найдите периметр треугольника $CDE$, если периметр треугольника $ABC$ равен 20 см и $AB = 6$ см.

1. Нахождение боковых сторон треугольника ABC.

По условию, треугольник $ABC$ равнобедренный, а $AC$ и $BC$ — его боковые стороны. Следовательно, $AC = BC$. Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AC + BC + AB$. Подставим известные значения: $20 = AC + AC + 6$ $20 = 2 \cdot AC + 6$ $2 \cdot AC = 20 - 6$ $2 \cdot AC = 14$ $AC = 7$ см. Таким образом, боковые стороны треугольника $AC = BC = 7$ см.

2. Выражение периметра треугольника CDE через отрезки касательных.

Периметр треугольника $CDE$ определяется формулой: $P_{CDE} = CD + CE + DE$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AC$ и $BC$ в точках $K$ и $N$ соответственно, а касательной $DE$ — в точке $P$. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны. Для точки $D$ имеем: $DK = DP$. Для точки $E$ имеем: $EN = EP$. Длину отрезка $DE$ можно представить как сумму $DE = DP + PE$. Заменив $DP$ и $PE$ на равные им отрезки, получим: $DE = DK + EN$. Теперь подставим это выражение в формулу периметра треугольника $CDE$: $P_{CDE} = CD + CE + (DK + EN)$. Сгруппируем слагаемые: $P_{CDE} = (CD + DK) + (CE + EN)$. Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$ между точками $C$ и $K$, а точка $E$ — на стороне $BC$ между точками $C$ и $N$, то: $CD + DK = CK$ $CE + EN = CN$ Следовательно, периметр треугольника $CDE$ равен сумме длин отрезков $CK$ и $CN$: $P_{CDE} = CK + CN$.

3. Нахождение длин отрезков CK и CN.

Длину отрезка касательной от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью можно найти по формуле: $l = p - a$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $a$ — длина стороны, противолежащей данной вершине. Найдем полупериметр треугольника $ABC$: $p_{ABC} = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. Для вершины $C$ противолежащей стороной является основание $AB$. Тогда: $CK = p_{ABC} - AB = 10 - 6 = 4$ см. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, то отрезки касательных, проведенных из вершин при основании, равны, а также равны отрезки, проведенные из вершины $C$: $CN = CK = 4$ см.

4. Вычисление периметра треугольника CDE.

Подставим найденные значения $CK$ и $CN$ в формулу для периметра $CDE$: $P_{CDE} = CK + CN = 4 + 4 = 8$ см.

Ответ: 8 см.