Номер 172, страница 26 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 2 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 2 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, $a$ и $b$ — его катеты, $c$ — гипотенуза. В треугольник вписана окружность с радиусом $r$.

По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = 4 + 6 = 10$ см.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности. Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны. Пусть точки касания на катетах $a$ и $b$ отстоят от вершин острых углов на те же расстояния, что и точка касания на гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике отрезки касательных от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности. Радиус по условию равен $r = 2$ см.

Тогда катеты треугольника можно выразить через отрезки на гипотенузе и радиус:

Первый катет: $a = 6 + r = 6 + 2 = 8$ см.

Второй катет: $b = 4 + r = 4 + 2 = 6$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см. Проверим, является ли треугольник прямоугольным по теореме Пифагора:

$a^2 + b^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$c^2 = 10^2 = 100$

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник действительно прямоугольный.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c = 8 + 6 + 10 = 24$ см.

Ответ: 24 см.