Номер 166, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. На рисунке 64 две окружности имеют общий центр $O$.

Через точку $A$ большей окружности проведены касательные $AD$ и $AE$ к меньшей окружности. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 5 см, а $\angle DAE = 60^{\circ}$.

Рис. 64

166. На рисунке 64 две окружности имеют общий центр $O$. Через точку $A$ большей окружности проведены касательные $AD$ и $AE$ к меньшей окружности. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 5 см, а $\angle DAE = 60^\circ$.

Рис. 64

Обозначим радиус большей окружности как R, а радиус меньшей окружности как r. Согласно условию, r = 5 см. Точка А лежит на большей окружности, значит, расстояние от центра O до точки А равно радиусу большей окружности, то есть OA = R.

Прямые AD и AE являются касательными к меньшей окружности, проведенными из одной точки A. Пусть T — точка касания прямой AD с меньшей окружностью.

Проведем радиус OT в точку касания T. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, $ OT \perp AD $.

Таким образом, треугольник ΔOAT является прямоугольным с прямым углом при вершине T ($ \angle OTA = 90^\circ $).

Отрезок OA, соединяющий общий центр окружностей O и точку A, из которой проведены касательные, является биссектрисой угла между касательными, то есть угла ∠DAE.

Поскольку по условию $ \angle DAE = 60^\circ $, то угол $ \angle OAT $ равен половине этого угла:
$ \angle OAT = \frac{\angle DAE}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOAT. В нем:
- Гипотенуза OA = R (искомый радиус большей окружности).
- Катет OT = r = 5 см (радиус меньшей окружности).
- Угол $ \angle OAT = 30^\circ $.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет OT лежит напротив угла $ \angle OAT = 30^\circ $. Следовательно:
$ OT = \frac{1}{2} OA $

Подставим известные значения:
$ 5 = \frac{1}{2} R $

Отсюда находим R:
$ R = 5 \cdot 2 = 10 $ см.

Ответ: 10 см.