Номер 160, страница 24 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Даны точки $A$ и $B$. Найдите ГМТ вершин $C$ треугольников $ABC$ таких, что медиана $CM$ равна 2 см.

160.Даны точки $A$ и $B$. Найдите ГМТ вершин $C$ треугольников $ABC$ таких, что медиана $CM$ равна 2 см.

По условию задачи даны две фиксированные точки $A$ и $B$. Необходимо найти геометрическое место точек (ГМТ) вершин $C$ для всех возможных треугольников $ABC$, у которых медиана $CM$ равна 2 см.

Медиана $CM$ треугольника $ABC$ — это отрезок, соединяющий вершину $C$ с серединой противолежащей стороны $AB$. Обозначим середину отрезка $AB$ буквой $M$.

Так как точки $A$ и $B$ являются фиксированными, то и отрезок $AB$, соединяющий их, также занимает фиксированное положение в пространстве. Следовательно, его середина — точка $M$ — также является фиксированной точкой.

Условие задачи гласит, что длина медианы $CM$ постоянна и равна 2 см. Это означает, что расстояние от искомой точки $C$ до фиксированной точки $M$ всегда равно 2 см, то есть $|CM| = 2$ см.

По определению, геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии (радиусе) от одной фиксированной точки (центра), является окружностью.

В данном случае, точка $C$ всегда находится на расстоянии 2 см от фиксированной точки $M$. Таким образом, искомое ГМТ является окружностью с центром в точке $M$ (середина отрезка $AB$) и радиусом $R = 2$ см.

Важно учесть, что точки $A$, $B$ и $C$ должны образовывать треугольник. Это возможно только в том случае, если они не лежат на одной прямой. Если точка $C$ будет лежать на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, то треугольник "вырождается" в отрезок. Прямая $AB$ проходит через центр $M$ найденной окружности. Следовательно, необходимо исключить из нашего ГМТ точки пересечения окружности с прямой $AB$. Таких точек будет две (если $A \neq B$).

Ответ: Искомое геометрическое место точек вершин $C$ — это окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом 2 см, за исключением двух точек, принадлежащих прямой $AB$.