Номер 155, страница 24 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. На рисунке 61 хорда CD пересекает диаметр AB в точке K, $\angle DEK = \angle CFK = 90^{\circ}$, $\angle DKA = 60^{\circ}$, $EF = 10$ см. Найдите хорду CD.

Рис. 61

155. На рисунке 61 хорда CD пересекает диаметр AB в точке K, $\angle DEK = \angle CFK = 90^\circ$, $\angle DKA = 60^\circ$, $EF = 10$ см. Найдите хорду CD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta DEK$. Он является прямоугольным, так как по условию $\angle DEK = 90^\circ$. Угол $\angle DKE$ совпадает с углом $\angle DKA$, так как точки E, K, A лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle DKE = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла. Для $\Delta DEK$ катет $EK$ прилежит к углу $\angle DKE$, а гипотенузой является $DK$. Таким образом:

$EK = DK \cdot \cos(\angle DKE) = DK \cdot \cos(60^\circ)$

Зная, что значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$EK = \frac{1}{2} DK$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta CFK$. Он является прямоугольным, так как по условию $\angle CFK = 90^\circ$. Углы $\angle CKF$ и $\angle DKA$ являются вертикальными, а значит, они равны:

$\angle CKF = \angle DKA = 60^\circ$

Аналогично для $\Delta CFK$ найдем катет $FK$, который прилежит к углу $\angle CKF$. Гипотенузой является $CK$.

$FK = CK \cdot \cos(\angle CKF) = CK \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$FK = \frac{1}{2} CK$

Из рисунка видно, что длина отрезка $EF$ равна сумме длин отрезков $EK$ и $FK$:

$EF = EK + FK$

Подставим найденные выражения для $EK$ и $FK$ в это равенство:

$EF = \frac{1}{2} DK + \frac{1}{2} CK = \frac{1}{2} (DK + CK)$

Точка $K$ является точкой пересечения хорды $CD$ и диаметра $AB$, следовательно, она лежит на хорде $CD$. Длина хорды $CD$ равна сумме длин ее частей $DK$ и $CK$:

$CD = DK + CK$

Теперь подставим это выражение в формулу для $EF$:

$EF = \frac{1}{2} CD$

По условию задачи дано, что $EF = 10$ см. Используем это для нахождения длины хорды $CD$:

$10 = \frac{1}{2} CD$

Умножив обе части уравнения на 2, получим:

$CD = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: 20 см.