Номер 148, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$. Биссектриса угла $A$ пересекает катет $BC$ в точке $K$. Найдите $BK$, если $AK - CK = 8$ см.

148. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$. Биссектриса угла $A$ пересекает катет $BC$ в точке $K$. Найдите $BK$, если $AK - CK = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому найдем угол $B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

$AK$ является биссектрисой угла $A$, следовательно, она делит угол $A$ пополам:
$\angle CAK = \angle KAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$. В нем угол $\angle C = 90^\circ$ и $\angle CAK = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В данном случае катет $CK$ лежит напротив угла $\angle CAK$, значит:
$CK = \frac{1}{2} AK$, откуда следует, что $AK = 2 \cdot CK$.

По условию задачи известно, что $AK - CK = 8$ см. Подставим в это равенство выражение $AK = 2 \cdot CK$:
$2 \cdot CK - CK = 8$
$CK = 8$ см.

Теперь найдем длину $AK$:
$AK = 2 \cdot CK = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $ABK$. В нем мы знаем два угла: $\angle KAB = 30^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$. Так как два угла в треугольнике равны, то треугольник $ABK$ является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $BK = AK$.
Поскольку $AK = 16$ см, то и $BK = 16$ см.

Ответ: 16 см.